Use qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Se algum teste que você escolher der inconclusivo, busque outro teste que funcione para a série:
sumn=1^infty n!^2 2^n(2 n+2)!

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty n!^2,2^n(2n+2)!
O conteúdo principal é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste da razão, que costuma funcionar bem quando há fatoriais e potências.

Passo 2

Seja
an = n!^2,2^n(2n+2)!
Então o termo seguinte é
an+1 = (n+1)!^2,2^,n+1(2(n+1)+2)! = (n+1)!^2,2^,n+1(2n+4)!
Formamos a razão
an+1an = (n+1)!^2,2^,n+1(2n+4)!;g/;n!^2,2^n(2n+2)! =2;(n+1)^2(2n+4)(2n+3)

Passo 3

Para aplicar o teste da razão, calculamos
L = limntoinftyan+1an = limntoinfty2;(n+1)^2(2n+4)(2n+3) = 12
Como L = tfrac12 < 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge.

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