Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados. Resolva os exercícios sem omitir nenhuma passagem em seus cálculos. Respostas sem resolução e/ou justificativa não serão consideradas. Data máxima de entrega: 29/05/2025 até 14:00 horas
integral-infty^0 r e^r d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-infty^0 r e^r,dr
que é um caso de intervalo ilimitado. Vamos reescrevê-la como limite e usar integração por partes para encontrar a primitiva de r e^r.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite de uma integral própria:
integral-infty^0 r e^r,dr = limAto -infty integralA^0 r e^r,dr

Passo 3

Para achar a primitiva de r e^r aplicamos integração por partes. Tomamos
u = r, dv = e^r,dr
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du = dr, v = e^r
Pelo teorema de integração por partes:
integral r e^r,dr = u v - integral v,du = r e^r - integral e^r,dr = r e^r - e^r + C
Portanto uma primitiva é
F(r) = e^r(r - 1)

Passo 4

Substituímos a primitiva nos limites A e 0:
integralA^0 r e^r,dr = l[F(r)r]r=A^r=0 = F(0)-F(A) = l[e^0(0-1)r] - l[e^A(A-1)r] = -1 - e^A(A-1)

Passo 5

Agora calculamos o limite quando Ato -infty. Sabemos que e^Ato0 e que A e^Ato0 mais rápido do que A cresce em módulo. Logo
limAto -infty e^A(A-1) = 0
Assim
limAto -inftyl[-1 - e^A(A-1)r] = -1 - 0 = -1

Resposta

integral-infty^0 r e^r,dr = -1

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