Calcule as integrais impróprias em intervalos ilimitados. Resolva os exercícios sem omitir nenhuma passagem em seus cálculos. Respostas sem resolução e/ou justificativa não serão consideradas. Data máxima de entrega: 29/05/2025 até 14:00 horas
integral0^infty 2 e^-x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral imprópria
integral0^infty 2e^-xsin x,dx
O conteúdo envolve integrais impróprias em intervalo ilimitado e uso de integração por partes para obter o antiderivado de e^-xsin x.

Passo 2

Extraímos o fator constante 2 e definimos
I = 2integral0^infty e^-xsin x,dx
Agora focamos em calcular a integral indefinida
J = integral e^-xsin x,dx
para depois avaliar os limites.

Passo 3

Usamos integração por partes duas vezes:
1. Seja u=sin x, dv=e^-xdx. Então du=cos x,dx, v=-e^-x.
integral e^-xsin x,dx = -e^-xsin x + integral e^-xcos x,dx
Denote K=integral e^-xcos x,dx.
2. Em K, escolha u=cos x, dv=e^-xdx. Assim du=-sin x,dx, v=-e^-x.
K = -e^-xcos x - integral e^-xsin x,dx = -e^-xcos x - J
Substituindo em J:
J = -e^-xsin x + K = -e^-xsin x - e^-xcos x - J
Logo
2J = -e^-x(sin x + cos x), J = -tfrac12,e^-x(sin x + cos x) + C

Passo 4

Avaliamo-os a integral de 0 a infty:
integral0^infty e^-xsin x,dx = limbtoinftyl[-tfrac12e^-x(sin x+cos x)r]0^b
Quando x=btoinfty, e^-bto0 e o termo superior vale 0. Para x=0:
-tfrac12e^0(sin0+cos0) = -tfrac12(0+1) = -tfrac12
Portanto
integral0^infty e^-xsin x,dx = 0 - l(-tfrac12r) = tfrac12

Passo 5

Retornando a I:
I = 2 times tfrac12 = 1

Resposta

1

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