Seja f: R-2 R-k, dada por f(x)=2+x2-x. Determine o valor de k para que f seja uma função inversível.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de funções e inversibilidade. A questão nos pede para encontrar o valor de $ k $ tal que a função $ f(x) = \frac{2 + x}{2 - x} $ seja inversível. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras e bijetoras, que são fundamentais para determinar se uma função possui uma inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é inversível se e somente se ela for bijetora, ou seja, se for ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). No nosso caso, a função $ f $ deve ser injetora e sobrejetora em $ \mathbb{R} - {k} $.

Passo 3

Vamos analisar a função $ f(x) = \frac{2 + x}{2 - x} $. Para que $ f $ seja inversível, ela não pode assumir o valor $ k $ para nenhum $ x $ no domínio. Isso significa que temos que identificar para qual valor de $ k $ a função nunca atinge esse valor, garantindo assim que a função seja sobrejetora em $ \mathbb{R} - {k} $.

Passo 4

Vamos resolver a equação $ f(x) = k $:
f(x) = k
Multiplicando ambos os lados por $ 2 - x $:
2 + x2 - x = k
Distribuindo o $ k $:
2 - x
Rearranjando os termos:
2 + x = k(2 - x)
Fatorando o $ x $:
k
Isolando $ x $:
2 + x = 2k - kx

Passo 5

Para que a função $ f $ seja inversível, essa equação não deve ter solução para $ x $ no domínio $ \mathbb{R} - {2} $. Portanto, devemos garantir que o denominador $ 1 + k $ não seja zero, ou seja:
f

Passo 6

Além disso, devemos verificar se há algum valor de $ k $ que faz com que $ f(x) $ nunca atinja esse valor. Observando a função, se $ x $ tende a $ 2 $, $ f(x) $ tende a $ -\infty $ ou $ +\infty $, dependendo da direção.
Para que $ f $ seja inversível, deve haver um valor que não é alcançado pela função. Nesse caso, se $ k = -1 $, a função não seria bijetora, conforme vimos anteriormente.

Resposta

O valor de $ k $ deve ser $ k = -1 $ para que a função $ f(x) = \frac{2 + x}{2 - x} $ seja inversível.

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