Seja
, dada por
. Determine o valor de
para que
seja uma função inversível.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de funções e inversibilidade. A questão nos pede para encontrar o valor de $ k $ tal que a função $ f(x) = \frac{2 + x}{2 - x} $ seja inversível. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras e bijetoras, que são fundamentais para determinar se uma função possui uma inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é inversível se e somente se ela for bijetora, ou seja, se for ao mesmo tempo injetora (cada elemento do domínio mapeia para um elemento único no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio). No nosso caso, a função $ f $ deve ser injetora e sobrejetora em $ \mathbb{R} - {k} $.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x) = \frac{2 + x}{2 - x} $. Para que $ f $ seja inversível, ela não pode assumir o valor $ k $ para nenhum $ x $ no domínio. Isso significa que temos que identificar para qual valor de $ k $ a função nunca atinge esse valor, garantindo assim que a função seja sobrejetora em $ \mathbb{R} - {k} $.
Passo 4
Vamos resolver a equação $ f(x) = k $:
Multiplicando ambos os lados por $ 2 - x $:
Distribuindo o $ k $:
Rearranjando os termos:
Fatorando o $ x $:
Isolando $ x $:
Passo 5
Para que a função $ f $ seja inversível, essa equação não deve ter solução para $ x $ no domínio $ \mathbb{R} - {2} $. Portanto, devemos garantir que o denominador $ 1 + k $ não seja zero, ou seja:
Passo 6
Além disso, devemos verificar se há algum valor de $ k $ que faz com que $ f(x) $ nunca atinja esse valor. Observando a função, se $ x $ tende a $ 2 $, $ f(x) $ tende a $ -\infty $ ou $ +\infty $, dependendo da direção.
Para que $ f $ seja inversível, deve haver um valor que não é alcançado pela função. Nesse caso, se $ k = -1 $, a função não seria bijetora, conforme vimos anteriormente.
Resposta
O valor de $ k $ deve ser $ k = -1 $ para que a função $ f(x) = \frac{2 + x}{2 - x} $ seja inversível.