Determine o conjunto B para que f:(-infty, 1] B, definida por f(x)=1-raiz1-x, seja uma função inversível e obtenha sua inversa.

Passo 1

O enunciado dá a função f:(-infty,1]to B com f(x)=1-raiz1-x. O objetivo é achar o conjunto B que torna f invertível e, depois, determinar a função inversa f^-1. Vamos usar conceitos de monotonicidade, imagem de função e manipulação algébrica para inverter a expressão.

Passo 2

Para garantir que f seja invertível, ela precisa ser injetora. Uma forma prática é mostrar que f é estritamente monotônica. Observamos que raiz1-x é bem definida para x<=1 e é uma função decrescente em x. Como f(x)=1-raiz1-x, que é 1 menos uma função decrescente, concluímos que f é estritamente crescente, logo injetora.

Passo 3

Agora vamos achar a imagem de f, que vai ser justamente o conjunto B. Como f é contínua e crescente em x=1, basta calcular os extremos. Em f(1)=1-raiz1-1=1 temos xto-infty. Quando raiz1-xto+infty, f(x)=1-raiz1-xto-infty, então B=(-infty,1]. Portanto a imagem é . Assim .

Passo 4

Para encontrar a inversa, fazemos y=1-raiz1-x e resolvemos para x. Primeiro isolamos a raiz:
raiz1-x=1-y
Elevando ao quadrado, obtemos:
1-x=(1-y)^2
Logo
x=1-(1-y)^2

Passo 5

Como y varia em f^-1(y), essa expressão define nesse domínio.

Resposta

O conjunto imagem é B=(-infty,1] e a inversa é f^-1(y)=1-(1-y)^2.

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