Determine o conjunto
para que
, definida por
, seja uma função inversível e obtenha sua inversa.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
. O objetivo é achar o conjunto
que torna
invertível e, depois, determinar a função inversa
. Vamos usar conceitos de monotonicidade, imagem de função e manipulação algébrica para inverter a expressão.
Passo 2
Para garantir que
seja invertível, ela precisa ser injetora. Uma forma prática é mostrar que
é estritamente monotônica. Observamos que
é bem definida para
e é uma função decrescente em
. Como
, que é
menos uma função decrescente, concluímos que
é estritamente crescente, logo injetora.
Passo 3
Agora vamos achar a imagem de
, que vai ser justamente o conjunto
. Como
é contínua e crescente em
, basta calcular os extremos. Em
temos
. Quando
,
, então
. Portanto a imagem é
. Assim
.
Passo 4
Para encontrar a inversa, fazemos
e resolvemos para
. Primeiro isolamos a raiz:
Elevando ao quadrado, obtemos:
Logo
Passo 5
Como
varia em
, essa expressão define
nesse domínio.
Resposta
O conjunto imagem é
e a inversa é
.