Dados os conjuntos
e
qual das seguintes leis define uma função
de
em
?
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos dá dois conjuntos: $ A = {0, 2, 4, 6} $ e $ B = {x \in \mathbb{Z} \mid -4 \leq x \leq 4}
f(x) = x^2 - 4 $, $ f(x) = 2x - 1 $, $ f(x) = x^2 $) transforma cada elemento de $ A $ em algum elemento de $ B $. Para isso, vamos usar o conceito de função, que basicamente é uma regra que associa cada elemento de um conjunto (domínio) a exatamente um elemento de outro conjunto (contradomínio).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada função proposta:
a) $ f(x) = x^2 - 4 $: Aqui, a gente eleva o número ao quadrado e depois subtrai 4.
b) $ f(x) = 2x - 1 $: Nesta, a gente multiplica o número por 2 e depois tira 1.
c) $ f(x) = x^2 $: Simplesmente, só eleva o número ao quadrado.
Passo 3
Agora, vamos aplicar cada função a todos os elementos de $ A $ e verificar se o resultado está dentro de $ B $, ou seja, se está entre -4 e 4 e é um número inteiro.
Passo 4
Vamos começar com a função a) $ f(x) = x^2 - 4 $:
- Para $ x = 0 $: $ 0^2 - 4 = -4 $ (Está em $ B $)
- Para $ x = 2 $: $ 2^2 - 4 = 0 $ (Está em $ B $)
- Para $ x = 4 $: $ 4^2 - 4 = 12 $ (Não está em $ B $)
- Para $ x = 6 $: $ 6^2 - 4 = 32 $ (Não está em $ B $)
Como alguns valores saíram de $ B $, a função a) não é válida.
Passo 5
Agora, a função b) $ f(x) = 2x - 1 $:
- Para $ x = 0 $: $ 2(0) - 1 = -1 $ (Está em $ B $)
- Para $ x = 2 $: $ 2(2) - 1 = 3 $ (Está em $ B $)
- Para $ x = 4 $: $ 2(4) - 1 = 7 $ (Não está em $ B $)
- Para $ x = 6 $: $ 2(6) - 1 = 11 $ (Não está em $ B $)
Novamente, nem todos os resultados estão em $ B $, então a função b) também não é válida.
Passo 6
Por último, a função c) $ f(x) = x^2 $:
- Para $ x = 0 $: $ 0^2 = 0 $ (Está em $ B $)
- Para $ x = 2 $: $ 2^2 = 4 $ (Está em $ B $)
- Para $ x = 4 $: $ 4^2 = 16 $ (Não está em $ B $)
- Para $ x = 6 $: $ 6^2 = 36 $ (Não está em $ B $)
Mais uma vez, alguns valores saíram de $ B $, então a função c) também não atende.
Resposta
Nenhuma das funções propostas ($ a $, $ b $ ou $ c $) define uma função de $ A $ em $ B $, já que em todas elas pelo menos um valor de $ A $ mapeia para fora de $ B $.