Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-2}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x+2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-2}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x+2}}\,dx
Trata-se de uma integral imprópria porque, em x=-2, o denominador fica zero. Veremos se ela converge e, em seguida, faremos a integração de uma função do tipo (x+2)^{p}.

Passo 2

Reescrevendo a integranda em forma de potência:
\frac{1}{\sqrt[4]{x+2}} = (x+2)^{-\tfrac14}.
A descontinuidade está em x=-2. Para estudar a convergência, aproximamos a integral por
\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{-2+\varepsilon}^{14}(x+2)^{-\tfrac14}dx.
Perto de x=-2, dizendo t=x+2, a integral comporta-se como \int_{0}^{\delta}t^{-\tfrac14}dt. Como o expoente -\tfrac14>-1, essa integral converge.

Passo 3

Calculamos a primitiva de (x+2)^{-\tfrac14}. Usando a regra de potência, para p\neq -1:
\int (x+2)^{p}\,dx = \frac{(x+2)^{p+1}}{p+1} + C.
Aqui p=-\tfrac14, logo p+1=\tfrac34. Assim
\int (x+2)^{-\tfrac14}\,dx = \frac{(x+2)^{\tfrac34}}{\tfrac34} + C = \frac{4}{3}(x+2)^{\tfrac34} + C.

Passo 4

Avalia-mos a integral imprópria pelo limite:
\lim_{\varepsilon\to0^+}\Bigl[\frac{4}{3}(x+2)^{\tfrac34}\Bigr]_{x=-2+\varepsilon}^{x=14} = \frac{4}{3}\Bigl[(14+2)^{\tfrac34} - \lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon^{\tfrac34}\Bigr].
Como \lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon^{\tfrac34}=0 e 16^{\tfrac34}=(16^{\tfrac14})^3=2^3=8, temos
\frac{4}{3}\times8 = \frac{32}{3}.

Resposta

\int_{-2}^{14} \frac{1}{\sqrt[4]{x+2}}\,dx = \frac{32}{3}.

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