Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{3-x}} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{3}\frac{1}{\sqrt{3-x}}\,dx.
O integrando tem singularidade em x=3 (denominador vira zero), então vamos reescrever como limite de integrais definidas e usar antiderivada de (3-x)^{-1/2}.

Passo 2

Para tratar a descontinuidade em x=3, definimos
\int_{2}^{3}\frac{1}{\sqrt{3-x}}\,dx =\lim_{b\to3^-}\int_{2}^{b}\frac{1}{\sqrt{3-x}}\,dx.
Como
\int(3-x)^{-1/2}\,dx =-2\sqrt{3-x}+C,
essa é a antiderivada que vamos usar.

Passo 3

Aplicando a antiderivada de 2 até b, obtemos
\int_{2}^{b}\frac{1}{\sqrt{3-x}}\,dx =\Bigl[-2\sqrt{3-x}\Bigr]_{2}^{b} =-2\sqrt{3-b}+2\sqrt{1} =2-2\sqrt{3-b}.
Fazendo b\to3^-:
\lim_{b\to3^-}\bigl(2-2\sqrt{3-b}\bigr)=2-2\cdot0=2.

Resposta

2

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