Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-2}^{3} \frac{1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-2}^{3}\frac{1}{x^{4}}\,dx,
que é imprópria porque a função x\mapsto x^{-4} tem singularidade em x=0, interior ao intervalo de integração. Para resolver, vamos usar a definição de integral imprópria, isto é, dividir o integral em dois em torno de 0 e tomar limites.

Passo 2

Separamos
\int_{-2}^{3}\frac{1}{x^{4}}\,dx =\int_{-2}^{0}\frac{1}{x^{4}}\,dx +\int_{0}^{3}\frac{1}{x^{4}}\,dx
e definimos
\int_{-2}^{0}\frac{1}{x^{4}}\,dx =\lim_{a\to0^-}\int_{-2}^{a}\frac{1}{x^{4}}\,dx, \quad \int_{0}^{3}\frac{1}{x^{4}}\,dx =\lim_{b\to0^+}\int_{b}^{3}\frac{1}{x^{4}}\,dx.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de x^{-4}. Sabemos que
\int x^{-4}\,dx =\frac{x^{-3}}{-3} =-\frac{1}{3x^{3}}.

Passo 4

Usando essa antiderivada, avaliamos cada parte:
  1. Para o trecho de -2 a a<0:
\int_{-2}^{a}\frac{1}{x^{4}}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{3x^{3}}\Bigr]_{x=-2}^{x=a} =-\frac{1}{3a^{3}}-\Bigl(-\frac{1}{3(-2)^{3}}\Bigr) =-\frac{1}{3a^{3}}-\frac{1}{24}.
Ao fazermos a\to0^-, temos a^{3}\to0^-, logo -1/(3a^{3})\to+\infty. Assim essa parte diverge para +\infty.
  1. Para o trecho de b>0 até 3:
\int_{b}^{3}\frac{1}{x^{4}}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{3x^{3}}\Bigr]_{x=b}^{x=3} =-\frac{1}{81}-\Bigl(-\frac{1}{3b^{3}}\Bigr) =\frac{1}{3b^{3}}-\frac{1}{81}.
Ao fazermos b\to0^+, o termo 1/(3b^{3})\to+\infty. Essa parte também diverge.

Passo 5

Como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites divergem para +\infty, a integral imprópria original não converge.

Resposta

A integral diverge (não existe valor finito).

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