Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2 x}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{x}}{e^{2x}+3}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para transformar essa integral numa forma racional em t, seguida do uso da antiderivada de \tfrac{1}{t^{2}+a^{2}}, que envolve a função \arctan.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
t = e^{x}, \quad dt = e^{x}\,dx,
então quando x=0 temos t=1 e quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral vira
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{x}}{e^{2x}+3}\,dx = \int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{2}+3}\,dt.

Passo 3

A antiderivada de \tfrac{1}{t^{2}+3} usa a forma padrão
\int\frac{1}{t^{2}+a^{2}}\,dt =\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr),
com a=\sqrt{3}. Assim
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{2}+3}\,dt = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{t}{\sqrt{3}}\Bigr)\Biggr|_{1}^{\infty}.

Passo 4

Avaliamo os limites:
quando t\to\infty, \arctan(t/\sqrt{3})\to\pi/2;
quando t=1, \arctan(1/\sqrt{3})=\pi/6.
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\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{2}+3}\,dt = \frac{1}{\sqrt{3}}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\Bigr) = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\frac{e^{x}}{e^{2x}+3}\,dx = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.

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