Calcule as integrais impróprias a seguir. \int_{0}^{\infty} \frac{e^{x}}{e^{2 x}+3} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{x}}{e^{2x}+3}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para transformar essa integral numa forma racional em t, seguida do uso da antiderivada de \tfrac{1}{t^{2}+a^{2}}, que envolve a função \arctan.
Passo 2
Fazemos a troca de variável
t = e^{x}, \quad dt = e^{x}\,dx,
então quando x=0 temos t=1 e quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral vira