Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.
Este é um caso clássico de integral com singularidade em x = 1. Vamos usar a primitiva conhecida de \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, que envolve a função arco seno.

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}.
Logo, uma primitiva de \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} é \arcsin(x).

Passo 3

Como a integral é imprópria em x=1, reescrevemos
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \lim_{b \to 1^-}\int_{0}^{b} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = \lim_{b \to 1^-}\bigl[\arcsin(x)\bigr]_{0}^{b} = \lim_{b \to 1^-}\bigl(\arcsin(b)-\arcsin(0)\bigr).

Passo 4

Como \arcsin(0)=0 e
\lim_{b \to 1^-}\arcsin(b)=\frac{\pi}{2},
a integral converge e vale \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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