Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{0}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}\,dx
que tem singularidade em x=1 porque ali o denominador fica zero. Vamos usar conceito de integral imprópria, dividindo o domínio em [0,1) e (1,9].

Passo 2

Escrevemos a integral como soma de duas integrais próprias pelo processo de limite:
\int_{0}^{9} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}\,dx = \lim_{a\to1^-}\int_{0}^{a} (x-1)^{-1/3}\,dx + \lim_{b\to1^+}\int_{b}^{9} (x-1)^{-1/3}\,dx.

Passo 3

Para integrar (x-1)^{-1/3}, usamos a fórmula de potência. Uma primitiva é
\int (x-1)^{-1/3}\,dx = \frac{(x-1)^{2/3}}{\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{2}\,(x-1)^{2/3}.
Chamando-a de F(x)=\tfrac{3}{2}(x-1)^{2/3}, temos F'(x)=(x-1)^{-1/3}.

Passo 4

Agora avaliamos cada termo no limite:
  1. Para a parte de 0 a 1:
\lim_{a\to1^-}\int_{0}^{a}(x-1)^{-1/3}\,dx = \lim_{a\to1^-}\bigl[F(a)-F(0)\bigr] = \bigl[\,0 - \tfrac{3}{2}\,(0-1)^{2/3}\bigr] = -\tfrac{3}{2}.
  1. Para a parte de 1 a 9:
\lim_{b\to1^+}\int_{b}^{9}(x-1)^{-1/3}\,dx = \lim_{b\to1^+}\bigl[F(9)-F(b)\bigr] = \bigl[\tfrac{3}{2}\,(9-1)^{2/3} - 0\bigr] = \tfrac{3}{2}\cdot 8^{2/3} = \tfrac{3}{2}\cdot 4 = 6.

Passo 5

Somando as duas contribuições,
-\tfrac{3}{2} + 6 = \frac{9}{2}.

Resposta

\frac{9}{2}

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