Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^{2}}{9+x^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx.
O conteúdo principal é o uso de simetria (função par) e a avaliação de
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x^{q}}\,dx
por meio da fórmula
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x^{q}}\,dx=\frac{\pi}{q\sin\bigl(\tfrac{p\pi}{q}\bigr)},\quad 0<p<q.

Passo 2

Como a função f(x)=x^{2}/(9+x^{6}) é par, temos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx =2\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx.
Para simplificar o denominador, fazemos a mudança de variável
x=9^{1/6}\,u, \quad dx=9^{1/6}\,du.
Então
x^{6}=9\,u^{6},\quad x^{2}=9^{1/3}u^{2},
e a integral de 0 a \infty fica
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx =\int_{0}^{\infty}\frac{9^{1/3}u^{2}\cdot 9^{1/6}\,du}{9\,(1+u^{6})} =\frac{9^{1/2}}{9}\int_{0}^{\infty}\frac{u^{2}}{1+u^{6}}\,du =\frac{1}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{u^{2}}{1+u^{6}}\,du.
Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx =2\cdot\frac{1}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{u^{2}}{1+u^{6}}\,du =\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{u^{2}}{1+u^{6}}\,du.

Passo 3

Para
I=\int_{0}^{\infty}\frac{u^{2}}{1+u^{6}}\,du
note que isto é da forma \int_{0}^{\infty}x^{p-1}/(1+x^{q})\,dx com p-1=2 (ou seja p=3) e q=6. Pela fórmula:
I=\frac{\pi}{6\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{6}\bigr)} =\frac{\pi}{6\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)} =\frac{\pi}{6\cdot1} =\frac{\pi}{6}.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle \frac{2}{3}I, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{9+x^{6}}\,dx =\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{9}

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