Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{-\infty}^{\infty} x^{3} e^{-x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}x^{3}e^{-x^{4}}\,dx.
O conteúdo envolve análise de convergência de integrais em intervalo não limitado e uso de paridade de funções.

Passo 2

Verificamos a convergência da integral. Para \lvert x\rvert\to\infty, a parte exponencial e^{-x^{4}} decai superexponencialmente e domina o crescimento polinomial de x^{3}, garantindo que
x^{3}e^{-x^{4}}\to0
rapidamente e que a integral converja absolutamente.

Passo 3

Analisamos a paridade da função integrando. Definindo
f(x)=x^{3}e^{-x^{4}},
temos
f(-x)=(-x)^{3}e^{-(-x)^{4}} =-x^{3}e^{-x^{4}} =-f(x),
ou seja, f é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico centrado em zero vale zero:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=0.

Resposta

0

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