Calcule as integrais impróprias a seguir.
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria \int_{2}^{\infty} y e^{-3y} \, dy. O conteúdo usado será integração por partes e o conceito de limite em integrais impróprias.

Passo 2

Aplicamos integração por partes. Tomamos u = y e dv = e^{-3y} \, dy, então
du = dy,
v = \int e^{-3y} \, dy = -\tfrac{1}{3} e^{-3y}.
Logo,
\int y e^{-3y} \, dy = uv - \int v \, du = -\frac{y e^{-3y}}{3} - \int \Bigl(-\frac{1}{3} e^{-3y}\Bigr) \, dy = -\frac{y e^{-3y}}{3} + \frac{1}{3}\int e^{-3y} \, dy.
Como
\int e^{-3y} \, dy = -\frac{1}{3} e^{-3y},
temos
\int y e^{-3y} \, dy = -\frac{y e^{-3y}}{3} - \frac{1}{9} e^{-3y} = -\frac{(3y+1)e^{-3y}}{9}.

Passo 3

Para a integral imprópria, usamos a primitiva
F(y) = -\frac{(3y+1)e^{-3y}}{9},
e calculamos
\int_{2}^{\infty} y e^{-3y} \, dy = \lim_{R \to \infty} \bigl[F(R) - F(2)\bigr].
Como
\lim_{R \to \infty} (3R+1)e^{-3R} = 0,
segue que F(R)\to0. Assim,
\int_{2}^{\infty} y e^{-3y} \, dy = 0 - F(2) = -\Bigl(-\frac{(3\cdot2+1)e^{-6}}{9}\Bigr) = \frac{7e^{-6}}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{9}e^{-6}

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