Calcule as integrais indefinidas abaixo:
(10) integral cos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa aqui é calcular a integral indefinida de cos^2(x) , dx. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que transforma o cosseno ao quadrado em uma forma mais fácil de integrar. A identidade é:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Essa fórmula é muito útil porque nos permite dividir a integral em partes mais simples.

Passo 3

Agora, vamos substituir cos^2(x) pela identidade que acabamos de lembrar na integral original:
integral cos^2(x) , dx = integral 1 + cos(2x)2 , dx
Podemos tirar o 12 fora da integral para simplificar:
= 12 integral (1 + cos(2x)) , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo dentro dos parênteses separadamente:
12 ( integral 1 , dx + integral cos(2x) , dx )
A integral de 1 em relação a x é simplesmente x. Já a integral de cos(2x) requer usar uma substituição simples ou lembrar que:
integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C
Aplicando isso, temos:
= 12 ( x + sin(2x)2 ) + C

Passo 5

Vamos simplificar a expressão final:
x2 + sin(2x)4 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida de cos^2(x) é:
integral cos^2(x) , dx = x2 + sin(2x)4 + C

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