Identifique e esboce as cônicas:
x^2+4 x+4 y^2+8 y+4=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral da cônica
x^2 + 4x + 4y^2 + 8y + 4 = 0,
queremos identificar de que tipo é e esboçar. Para isso, vamos completar quadrados e levar à forma canônica.

Passo 2

Para completar o quadrado em x e y:
  • Em x:
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
- Em y:
4y^2 + 8y = 4l(y^2 + 2yr) = 4l[(y + 1)^2 - 1r] = 4(y + 1)^2 - 4

Passo 3

Substituindo de volta na equação original:
(x + 2)^2 - 4 + 4(y + 1)^2 - 4 + 4 = 0
Simplificando os termos constantes:
$$(x + 2)^{2} + 4(y + 1)^{2} - 4 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
(x + 2)^{2} + 4(y + 1)^{2} = 4. (x + 2)^2 + 4(y + 1)^2 - 4 = 0 Longrightarrow (x + 2)^2 + 4(y + 1)^2 = 4àã\frac{(x + 2)^{2}}{4} + \frac{(y + 1)^{2}}{1} = 1.$$

Passo 4

Da forma padrão reconhecemos que é uma elipse com centro em (-2,-1), semi-eixo maior em x de comprimento a=2 e semi-eixo menor em y de comprimento b=1.

Passo 5

Para esboçar: marcar o centro (-2,-1), os vértices horizontais em (-2pm2,-1) e os vértices verticais em (-2,-1pm1), e desenhar a curva elíptica que passa por esses pontos.

Resposta

A cônica é uma elipse centrada em (-2,-1) com semi-eixos a=2 (horizontal) e b=1 (vertical).

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