Identifique e esboce as cônicas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação geral da cônica
queremos identificar de que tipo é e esboçar. Para isso, vamos completar quadrados e levar à forma canônica.
Passo 2
Para completar o quadrado em
e
:
- Em
:
- Em
Passo 3
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
$$(x + 2)^{2} + 4(y + 1)^{2} - 4 = 0
\quad\Longrightarrow\quad
(x + 2)^{2} + 4(y + 1)^{2} = 4.
\frac{(x + 2)^{2}}{4} + \frac{(y + 1)^{2}}{1} = 1.$$
Passo 4
Da forma padrão reconhecemos que é uma elipse com centro em
, semi-eixo maior em
de comprimento
e semi-eixo menor em
de comprimento
.
Passo 5
Para esboçar: marcar o centro
, os vértices horizontais em
e os vértices verticais em
, e desenhar a curva elíptica que passa por esses pontos.
Resposta
A cônica é uma elipse centrada em (-2,-1) com semi-eixos a=2 (horizontal) e b=1 (vertical).