Seja S uma superfície de equação x^2+y^2+z^2+3 x-7 y+4 z-3=0. Identifique a superfície S e faça um esboço da mesma. Verifique quais dos pontos abaixo estão sobre a superfície S.
Q=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádica S com equação x^2+y^2+z^2+3x-7y+4z-3=0. O conteúdo é identificação de superfícies de segunda ordem em 3D (geometria analítica), e vamos precisar completar quadrados para descobrir o tipo da superfície, seu centro e raio, além de verificar se o ponto Q=(1,1,1) satisfaz a equação.

Passo 2

Para completar quadrados, separe os termos em x, y e z e trate o termo constante. Temos:
x^2+3x + y^2-7y + z^2+4z -3 = (x+tfrac32)^2 - tfrac94 + (y-tfrac72)^2 - tfrac494 + (z+2)^2 -4 -3

Passo 3

Agora reagrupamos os termos quadráticos e os constantes de um lado:
(x+tfrac32)^2 + (y-tfrac72)^2 + (z+2)^2 = tfrac94 + tfrac494 + 4 + 3 = tfrac584 + 7 = tfrac58 + 284 = tfrac864 = tfrac432 Portanto S é uma esfera com centro C=(-tfrac32,,tfrac72,,-2) e raio r=raiztfrac432. Para esboçar, basta desenhar o sistema de eixos, marcar o ponto C e traçar uma circunferência (em projeções) de raio r em torno de C em 3D.

Passo 4

Agora verificamos se Q=(1,1,1) está em S substituindo na equação original:
1^2 + 1^2 + 1^2 + 3cdot1 -7cdot1 +4cdot1 -3 = 3 +3 -7 +4 -3 = 0 Como deu zero, concluímos que Q satisfaz a equação de S e, portanto, está sobre a superfície.

Resposta

A superfície S é uma esfera de centro (-tfrac32,,tfrac72,,-2) e raio raiztfrac432. O ponto Q = (1,1,1) pertence a S.

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