Calcule as integrais indefinidas abaixo:
11)
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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Precisa-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que .
Observação útil sobre domínio: a raizé real para , mas o procedimento algébrico vale formalmente por substituição (podendo estender-se por continuação analítica se quiser).
Passo 2
Estratégia: usar a substituição simples (mudança de variável) apropriada quando há uma função composta do tipo “algo” e sua derivada aparece multiplicando. Aqui nota-se que
é uma função interna e sua derivada é
, que é proporcional ao fator
presente no integrando. Então escolhemos a substituição
Agora calculemos
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
temos
Rearranjando para substituir
na integral:
Passo 3
Substituímos na integral original usando
e
. O fator
vira
e
vira
. Assim:
Passo 4
Agora aplicamos a regra de potências para integrais. Lembrete (aula rápida): para
vale
onde
é a constante de integração. No nosso caso
, logo
Passo 5
Voltando ao fator que estava fora da integral, multiplicamos:
Agora substituímos de volta
, obtendo a primitiva (sem ainda explicitar a constante):
Passo 6
Checagem rápida por derivação (verificação): usar a regra da cadeia. Derive
Temos
Simplificando os fatores
obtém-se
, então
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.