Calcule as integrais indefinidas abaixo:
11) \int x \sqrt{1-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é x\sqrt{1-x^{2}}.
  • Precisa-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\sqrt{1-x^{2}}.
    Observação útil sobre domínio: a raiz \sqrt{1-x^{2}} é real para -1\le x\le 1, mas o procedimento algébrico vale formalmente por substituição (podendo estender-se por continuação analítica se quiser).

Passo 2

Estratégia: usar a substituição simples (mudança de variável) apropriada quando há uma função composta do tipo “algo” e sua derivada aparece multiplicando. Aqui nota-se que 1-x^{2} é uma função interna e sua derivada é -2x, que é proporcional ao fator x presente no integrando. Então escolhemos a substituição
u=1-x^{2}.
Agora calculemos du em termos de dx. Derivando ambos os lados em relação a x temos
du = -2x\,dx.
Rearranjando para substituir x\,dx na integral:
x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituímos na integral original usando u e du. O fator \sqrt{1-x^{2}} vira \sqrt{u}=u^{1/2} e x\,dx vira -\tfrac{1}{2}\,du. Assim:
\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx = \int \big(u^{1/2}\big)\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potências para integrais. Lembrete (aula rápida): para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. No nosso caso n=\tfrac{1}{2}, logo
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.

Passo 5

Voltando ao fator que estava fora da integral, multiplicamos:
-\tfrac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = -\tfrac{1}{3}\,u^{3/2}.
Agora substituímos de volta u=1-x^{2}, obtendo a primitiva (sem ainda explicitar a constante):
-\tfrac{1}{3}\big(1-x^{2}\big)^{3/2}.

Passo 6

Checagem rápida por derivação (verificação): usar a regra da cadeia. Derive
G(x) = -\tfrac{1}{3}\big(1-x^{2}\big)^{3/2}.
Temos
G'(x) = -\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{3}{2}\big(1-x^{2}\big)^{1/2}\cdot(-2x).
Simplificando os fatores -\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{3}{2}\cdot(-2x) obtém-se x, então
G'(x)=x\big(1-x^{2}\big)^{1/2}=x\sqrt{1-x^{2}},
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{3}\big(1-x^{2}\big)^{3/2}+C

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