Calcule as integrais indefinidas abaixo:
6)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é
. - Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - Não há restrição explícita de intervalo; a resposta pode conter uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos simplificar a forma da integranda usando a identidade trigonométrica
e a identidade pitagórica
Substituindo, obtemos
Explicando por que fiz isso: ao escrever a integranda como
fica claro que a única função não elementar é
e aparece junto com
, o que sugere uma substituição
porque
. Essa é uma técnica padrão: quando aparece
multiplicando uma função de
, substituir
facilita.
Passo 3
Fazemos a substituição indicada:
Então
Também expressamos o fator em
como potências de
:
e
.
Passo 4
Agora substituímos tudo na integral. A integranda
torna-se, em
,
Usando
, isso dá
Distribuindo a potência:
Portanto a integral em
é
Passo 5
Integramos termo a termo usando a regra da potência: para
,
Aplicando a regra:
- Para
temos , então
- Para
temos , então
Voltando ao sinal negativo inicial:
Passo 6
Simplificando a expressão obtida:
Voltando à variável original
, a primitiva fica
Pode também ser escrita fatorando
, se preferir:
mas a forma mais direta e clara é a anterior.
Passo 7
Checagem rápida (derivando para confirmar): calcule a derivada de
Usando a regra da cadeia,
Isso simplifica para
Fatorando
:
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.