Calcule as integrais indefinidas abaixo:
6) \int \frac{\operatorname{sen}^{3} x}{\sqrt{\cos x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é \dfrac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}.
  • Não há restrição explícita de intervalo; a resposta pode conter uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos simplificar a forma da integranda usando a identidade trigonométrica
\sin^{3}x=\sin^{2}x\cdot\sin x
e a identidade pitagórica
\sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
Substituindo, obtemos
\frac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}}=\frac{(1-\cos^{2}x)\sin x}{\sqrt{\cos x}}.
Explicando por que fiz isso: ao escrever a integranda como (1-\cos^{2}x)\sin x fica claro que a única função não elementar é \cos x e aparece junto com \sin x\,dx, o que sugere uma substituição u=\cos x porque du=-\sin x\,dx. Essa é uma técnica padrão: quando aparece \sin x\,dx multiplicando uma função de \cos x, substituir u=\cos x facilita.

Passo 3

Fazemos a substituição indicada:
u=\cos x.
Então
du=-\sin x\,dx \quad\Rightarrow\quad \sin x\,dx=-du.
Também expressamos o fator em \cos x como potências de u: \sqrt{\cos x}=u^{1/2} e \cos^{2}x=u^{2}.

Passo 4

Agora substituímos tudo na integral. A integranda \dfrac{(1-\cos^{2}x)\sin x}{\sqrt{\cos x}}\,dx torna-se, em u,
\int \frac{(1-u^{2})}{u^{1/2}}\,(\sin x\,dx).
Usando \sin x\,dx=-du, isso dá
\int \frac{(1-u^{2})}{u^{1/2}}\,(-du) = -\int (1-u^{2})u^{-1/2}\,du.
Distribuindo a potência:
(1-u^{2})u^{-1/2}=u^{-1/2}-u^{3/2}.
Portanto a integral em u é
-\int\bigl(u^{-1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando a regra:
  • Para u^{-1/2} temos n=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2u^{1/2}.
  • Para u^{3/2} temos n=\tfrac{3}{2}, então
\int u^{3/2}\,du=\frac{u^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}u^{5/2}.
Voltando ao sinal negativo inicial:
-\int\bigl(u^{-1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du = -\bigl(2u^{1/2}-\tfrac{2}{5}u^{5/2}\bigr)+C.

Passo 6

Simplificando a expressão obtida:
-\bigl(2u^{1/2}-\tfrac{2}{5}u^{5/2}\bigr)+C = -2u^{1/2}+\tfrac{2}{5}u^{5/2}+C.
Voltando à variável original u=\cos x, a primitiva fica
-2\sqrt{\cos x}+\frac{2}{5}\cos^{5/2}x + C.
Pode também ser escrita fatorando 2\sqrt{\cos x}, se preferir:
2\sqrt{\cos x}\!\left(\frac{1}{5}\cos^{2}x-1\right)+C,
mas a forma mais direta e clara é a anterior.

Passo 7

Checagem rápida (derivando para confirmar): calcule a derivada de
F(x)=-2\cos^{1/2}x+\frac{2}{5}\cos^{5/2}x.
Usando a regra da cadeia,
F'(x)=-2\cdot\frac{1}{2}\cos^{-1/2}x\cdot(-\sin x)+\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}\cos^{3/2}x\cdot(-\sin x).
Isso simplifica para
F'(x)=\sin x\,\cos^{-1/2}x-\sin x\,\cos^{3/2}x =\sin x\bigl(\cos^{-1/2}x-\cos^{3/2}x\bigr).
Fatorando \cos^{-1/2}x:
F'(x)=\sin x\cdot\frac{1-\cos^{2}x}{\sqrt{\cos x}}=\frac{\sin x\cdot\sin^{2}x}{\sqrt{\cos x}}=\frac{\sin^{3}x}{\sqrt{\cos x}},
que é exatamente a integranda original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-2\sqrt{\cos x}+\dfrac{2}{5}\cos^{5/2}x + C

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