Calcule as integrais indefinidas abaixo:
7) \int \operatorname{tg}^{3} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tg}^{3} x\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função integrada é \operatorname{tg}^{3} x, ou seja, (\operatorname{tg} x)^3.
  • Queremos uma primitiva em relação a x (integração indefinida), portanto o resultado terá uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia básica (sem resolver ainda): quando aparece potência ímpar de \operatorname{tg} x é comum separar um fator \operatorname{tg} x e usar a identidade que relaciona \operatorname{tg}^2 x com \operatorname{sec}^2 x. Escrevemos:
\operatorname{tg}^{3} x = \operatorname{tg} x\cdot \operatorname{tg}^{2} x.
A identidade trigonométrica que vamos usar é
\operatorname{tg}^{2} x = \operatorname{sec}^{2} x - 1,
pois \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x} e \tan^2 x + 1 = \operatorname{sec}^2 x.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral:
\int \operatorname{tg}^{3} x\,dx = \int \operatorname{tg} x\bigl(\operatorname{sec}^{2} x - 1\bigr)\,dx.
Agora separo em duas integrais:
\int \operatorname{tg} x\operatorname{sec}^{2} x\,dx \;-\; \int \operatorname{tg} x\,dx.

Passo 4

Primeira integral: \displaystyle \int \operatorname{tg} x\operatorname{sec}^{2} x\,dx.
Observação útil: a derivada de \operatorname{tg} x é \operatorname{sec}^{2} x, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg} x\bigr)=\operatorname{sec}^{2} x.
Isso sugere a substituição simples u=\operatorname{tg} x. Então du=\operatorname{sec}^{2} x\,dx. A integral fica
\int \operatorname{tg} x\operatorname{sec}^{2} x\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2} = \frac{\operatorname{tg}^{2} x}{2}.

Passo 5

Segunda integral: \displaystyle \int \operatorname{tg} x\,dx.
Lembrando que \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Faço a substituição v=\cos x, então dv=-\sin x\,dx. Assim
\int \operatorname{tg} x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-1}{v}\,dv = -\ln|v| + C = -\ln|\cos x| + C.
Portanto \displaystyle \int \operatorname{tg} x\,dx = -\ln|\cos x| + C. (A barra de valor absoluto é importante porque \cos x pode ser negativo.)

Passo 6

Juntando os resultados das duas integrais (ver Passos 4 e 5) e lembrando do sinal negativo entre elas:
\int \operatorname{tg}^{3} x\,dx = \frac{\operatorname{tg}^{2} x}{2} \;-\; \bigl(-\ln|\cos x|\bigr) + C.
Simplificando os sinais:
\int \operatorname{tg}^{3} x\,dx = \frac{\operatorname{tg}^{2} x}{2} + \ln|\cos x| + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para confiança): derivando a primitiva obtida
F(x)=\frac{\operatorname{tg}^{2} x}{2} + \ln|\cos x|
temos
F'(x)=\operatorname{tg} x\operatorname{sec}^{2} x - \tan x = \tan x\bigl(\operatorname{sec}^{2} x -1\bigr)=\tan x\cdot\tan^{2} x=\tan^{3} x,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{tg}^{2} x}{2} + \ln|\cos x| + C

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