Calcule as integrais indefinidas abaixo:
7)
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Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função integrada é
, ou seja, . - Queremos uma primitiva em relação a
(integração indefinida), portanto o resultado terá uma constante de integração .
Passo 2
Estratégia básica (sem resolver ainda): quando aparece potência ímpar de
é comum separar um fator
e usar a identidade que relaciona
com
. Escrevemos:
A identidade trigonométrica que vamos usar é
pois
e
.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral:
Agora separo em duas integrais:
Passo 4
Primeira integral:
.
Observação útil: a derivada de
é
, ou seja,
Isso sugere a substituição simples
. Então
. A integral fica
Passo 5
Segunda integral:
.
Lembrando que
. Faço a substituição
, então
. Assim
Portanto
. (A barra de valor absoluto é importante porque
pode ser negativo.)
Passo 6
Juntando os resultados das duas integrais (ver Passos 4 e 5) e lembrando do sinal negativo entre elas:
Simplificando os sinais:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para confiança): derivando a primitiva obtida
temos
confirmando que a primitiva está correta.