Calcule as integrais indefinidas abaixo:
22)
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A expressão a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) da função acima, mais a constante de integração.
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): uma técnica muito útil aqui é a substituição. Vou explicar por quê de um jeito simples e amigável.
A substituição consiste em mudar a variável para simplificar a expressão. Observa que a parte que tem potência é
. Se eu definir uma nova variável igual a
, a potência fica numa forma simples
. Depois preciso escrever
e
em função de
. Isso frequentemente facilita a integração.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente:
Então
e
Substituo na integral original. Como
e
, temos:
Passo 4
Agora vou simplificar o integrando. Multiplicando:
Portanto a integral fica
Passo 5
Vou usar duas regras básicas de integrais (explico de forma bem direta):
- Regra da linearidade:
, onde são constantes. - Regra da potência: para
,
Aqui os expoentes são
e
, ambos diferentes de
, então podemos aplicar a regra da potência.
Aplicando termo a termo:
Subtraindo conforme o integrando,
Passo 6
Agora volto à variável original
(já que
). Antes simplifico os coeficientes:
Portanto a primitiva em termos de
é
Passo 7
Comentário final e dica para prova: a substituição
foi natural porque havia uma potência de
. Em integrais do tipo
isso costuma funcionar bem — transformar
em
e expandir dá polinômios em
que são fáceis de integrar com a regra da potência. Respira fundo: esse padrão aparece bastante, então pratique alguns exercícios parecidos para fixar.