Calcule as integrais indefinidas abaixo:
22) \int 2 x(x+1)^{2010} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2 x(x+1)^{2010}\,dx.
Informações dadas:
  • A expressão a integrar é 2x(x+1)^{2010}.
  • Quer-se uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) da função acima, mais a constante de integração.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): uma técnica muito útil aqui é a substituição. Vou explicar por quê de um jeito simples e amigável.
A substituição consiste em mudar a variável para simplificar a expressão. Observa que a parte que tem potência é (x+1)^{2010}. Se eu definir uma nova variável igual a x+1, a potência fica numa forma simples u^{2010}. Depois preciso escrever x e dx em função de u. Isso frequentemente facilita a integração.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente:
u = x+1.
Então
du = dx
e
x = u-1.
Substituo na integral original. Como dx=du e x=u-1, temos:
\int 2 x(x+1)^{2010}\,dx = \int 2 (u-1) u^{2010}\,du.

Passo 4

Agora vou simplificar o integrando. Multiplicando:
2(u-1)u^{2010} = 2\bigl(u^{2011} - u^{2010}\bigr).
Portanto a integral fica
\int 2\bigl(u^{2011} - u^{2010}\bigr)\,du.

Passo 5

Vou usar duas regras básicas de integrais (explico de forma bem direta):
  • Regra da linearidade: \int (a f + b g)\,du = a\int f\,du + b\int g\,du, onde a,b são constantes.
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui os expoentes são 2011 e 2010, ambos diferentes de -1, então podemos aplicar a regra da potência.
Aplicando termo a termo:
\int 2u^{2011}\,du = 2\cdot\frac{u^{2012}}{2012}, \qquad \int 2u^{2010}\,du = 2\cdot\frac{u^{2011}}{2011}.
Subtraindo conforme o integrando,
\int 2\bigl(u^{2011} - u^{2010}\bigr)\,du = 2\cdot\frac{u^{2012}}{2012} - 2\cdot\frac{u^{2011}}{2011} + C.

Passo 6

Agora volto à variável original x (já que u=x+1). Antes simplifico os coeficientes:
2\cdot\frac{1}{2012}=\frac{2}{2012}=\frac{1}{1006}.
Portanto a primitiva em termos de x é
\frac{(x+1)^{2012}}{1006} - \frac{2(x+1)^{2011}}{2011} + C.

Passo 7

Comentário final e dica para prova: a substituição u=x+1 foi natural porque havia uma potência de x+1. Em integrais do tipo x\,(x+1)^n isso costuma funcionar bem — transformar x em u-1 e expandir dá polinômios em u que são fáceis de integrar com a regra da potência. Respira fundo: esse padrão aparece bastante, então pratique alguns exercícios parecidos para fixar.

Resposta

\frac{(x+1)^{2012}}{1006}-\frac{2(x+1)^{2011}}{2011}+C

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