Calcule as integrais indefinidas abaixo:
23) \int \operatorname{sen} 2 x \sqrt{1+\cos ^{2} x} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função dada. Informações fornecidas:
  • Integrando: \operatorname{sen}2x\sqrt{1+\cos^{2}x}.
  • Tipo de pedido: calcular \displaystyle\int \operatorname{sen}2x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx.
  • Não há outras restrições ou dados adicionais.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil para simplificar \operatorname{sen}2x é a fórmula do ângulo duplo. Essa fórmula diz que
\operatorname{sen}2x=2\operatorname{sen}x\cos x.
Aqui a variável é x; \operatorname{sen}x é o seno de x e \cos x é o cosseno de x. Vou aplicar essa identidade para reescrever o integrando de forma mais conveniente.

Passo 3

Reescrevendo o integrando com a identidade:
\operatorname{sen}2x\sqrt{1+\cos^{2}x} =2\operatorname{sen}x\cos x\sqrt{1+\cos^{2}x}.
Portanto a integral fica
\int \operatorname{sen}2x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx =\int 2\operatorname{sen}x\cos x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx.

Passo 4

Observando 2\operatorname{sen}x\cos x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx, notamos que aparece \operatorname{sen}x\,dx junto com funções de \cos x. Isso sugere a substituição
u=\cos x.
Explico: ao fazer u=\cos x, a derivada de u em relação a x é du/dx=-\operatorname{sen}x, ou seja
du=-\operatorname{sen}x\,dx.
Portanto podemos trocar \operatorname{sen}x\,dx por -du. Essa é a técnica padrão de substituição: escolhe-se u tal que o diferencial apareça multiplicando no integrando.

Passo 5

Substituindo u=\cos x e \operatorname{sen}x\,dx=-du na integral:
\int 2\operatorname{sen}x\cos x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx = \int 2 u \sqrt{1+u^{2}}(-du).
Isto é
\int 2\operatorname{sen}x\cos x\sqrt{1+\cos^{2}x}\,dx = -2\int u\sqrt{1+u^{2}}\,du.

Passo 6

Agora temos a integral em u:
-2\int u\sqrt{1+u^{2}}\,du.
Para integrar isso, uso outra substituição simples: seja
w=1+u^{2}.
Calculando o diferencial,
dw=2u\,du \quad\Rightarrow\quad u\,du=\frac{1}{2}\,dw.
Note que w é justamente o argumento da raiz; essa escolha transforma a raiz em w^{1/2} e simplifica u\,du.

Passo 7

Substituindo w e dw na integral:
-2\int u\sqrt{1+u^{2}}\,du = -2\int u\,w^{1/2}\,du.
Como u\,du=\dfrac{1}{2}\,dw, temos
-2\int u\,w^{1/2}\,du = -2\int w^{1/2}\left(\frac{1}{2}\,dw\right) = -\int w^{1/2}\,dw.

Passo 8

Integrando \displaystyle -\int w^{1/2}\,dw usando a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int w^{n}\,dw=\frac{w^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
-\int w^{1/2}\,dw = -\frac{w^{3/2}}{3/2}+C = -\frac{2}{3}w^{3/2}+C.

Passo 9

Volto às variáveis anteriores substituindo w=1+u^{2} e u=\cos x:
-\frac{2}{3}w^{3/2}+C = -\frac{2}{3}\bigl(1+u^{2}\bigr)^{3/2}+C = -\frac{2}{3}\bigl(1+\cos^{2}x\bigr)^{3/2}+C.

Passo 10

Verificação rápida (útil na prova): diferenciar a resposta obtida deve retornar o integrando. Diferenciando
F(x)=-\frac{2}{3}\bigl(1+\cos^{2}x\bigr)^{3/2}
usando a regra da cadeia e \dfrac{d}{dx}\cos^{2}x=-2\cos x\operatorname{sen}x, obtém-se
F'(x)=\operatorname{sen}2x\sqrt{1+\cos^{2}x},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{3}\bigl(1+\cos^{2}x\bigr)^{3/2}+C

Exercícios relacionados