Calcule as integrais indefinidas abaixo:
23)
23)
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função dada. Informações fornecidas:
- Integrando:
. - Tipo de pedido: calcular
. - Não há outras restrições ou dados adicionais.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil para simplificar
é a fórmula do ângulo duplo. Essa fórmula diz que
Aqui a variável é
;
é o seno de
e
é o cosseno de
. Vou aplicar essa identidade para reescrever o integrando de forma mais conveniente.
Passo 3
Reescrevendo o integrando com a identidade:
Portanto a integral fica
Passo 4
Observando
, notamos que aparece
junto com funções de
. Isso sugere a substituição
Explico: ao fazer
, a derivada de
em relação a
é
, ou seja
Portanto podemos trocar
por
. Essa é a técnica padrão de substituição: escolhe-se
tal que o diferencial apareça multiplicando no integrando.
Passo 5
Substituindo
e
na integral:
Isto é
Passo 6
Agora temos a integral em
:
Para integrar isso, uso outra substituição simples: seja
Calculando o diferencial,
Note que
é justamente o argumento da raiz; essa escolha transforma a raiz em
e simplifica
.
Passo 7
Substituindo
e
na integral:
Como
, temos
Passo 8
Integrando
usando a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Passo 9
Volto às variáveis anteriores substituindo
e
:
Passo 10
Verificação rápida (útil na prova): diferenciar a resposta obtida deve retornar o integrando. Diferenciando
usando a regra da cadeia e
, obtém-se
o que confirma que a primitiva está correta.