Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando substituição trigonométrica
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando substituição trigonométrica:
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}.
  • A integral é indefinida, logo o resultado deve conter a constante de integração C.
  • A raiz \sqrt{1-x^{2}} sugere usar uma substituição trigonométrica adequada (isso será feito nos próximos passos).

Passo 2

Motivação da substituição trigonométrica e escolha: quando aparece \sqrt{1-x^{2}} é muito natural tomar
x=\sin\theta,
porque então \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta (escolhendo o ramo principal onde \cos\theta\ge0, isto é \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big]). Agora calculamos dx:
dx=\cos\theta\,d\theta.

Passo 3

Fazer a substituição na integral: substituir x=\sin\theta, \sqrt{1-x^{2}}=\cos\theta e dx=\cos\theta\,d\theta. Assim
\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \frac{\sin^{3}\theta}{\cos\theta}\cdot \cos\theta\,d\theta = \sin^{3}\theta\,d\theta.
Logo a integral original vira
\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \sin^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \sin^{3}\theta\,d\theta. Usamos a identidade
\sin^{3}\theta=\sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta).
Portanto
\int \sin^{3}\theta\,d\theta = \int \sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta.

Passo 5

Fazer uma substituição simples na integral em \theta: seja u=\cos\theta. Então du=-\sin\theta\,d\theta, ou seja \sin\theta\,d\theta=-du. Substituindo,
\int \sin\theta\,(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta = \int (1-u^{2})(-du) = -\int (1-u^{2})\,du.
Integrando em u:
-\int (1-u^{2})\,du = -\left(u - \frac{u^{3}}{3}\right) + C = -u + \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 6

Voltar para a variável \theta: lembrando que u=\cos\theta,
\int \sin^{3}\theta\,d\theta = -\cos\theta + \frac{\cos^{3}\theta}{3} + C.

Passo 7

Voltar para a variável x. Usamos \cos\theta=\sqrt{1-x^{2}} (positiva no intervalo escolhido), então
-\cos\theta + \frac{\cos^{3}\theta}{3} + C = -\sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{3}\bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr)^{3} + C.
Podemos escrever de forma mais compacta fatorando \sqrt{1-x^{2}}:
-\sqrt{1-x^{2}} + \frac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2} + C = -\frac{1}{3}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}} + C.

Passo 8

Breve verificação (opcional, só para dar segurança): derivando
F(x)=-\frac{1}{3}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}
obtém-se F'(x)=\dfrac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}, portanto a antiderivada está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{3}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}+C

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