Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando substituição trigonométrica
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando substituição trigonométrica:
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - A integral é indefinida, logo o resultado deve conter a constante de integração
. - A raiz
sugere usar uma substituição trigonométrica adequada (isso será feito nos próximos passos).
Passo 2
Motivação da substituição trigonométrica e escolha: quando aparece
é muito natural tomar
porque então
(escolhendo o ramo principal onde
, isto é
). Agora calculamos
:
Passo 3
Fazer a substituição na integral: substituir
,
e
. Assim
Logo a integral original vira
Passo 4
Calcular
. Usamos a identidade
Portanto
Passo 5
Fazer uma substituição simples na integral em
: seja
. Então
, ou seja
. Substituindo,
Integrando em
:
Passo 6
Voltar para a variável
: lembrando que
,
Passo 7
Voltar para a variável
. Usamos
(positiva no intervalo escolhido), então
Podemos escrever de forma mais compacta fatorando
:
Passo 8
Breve verificação (opcional, só para dar segurança): derivando
obtém-se
, portanto a antiderivada está correta.