Calcule as integrais indefinidas abaixo:
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Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados. O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é uma razão cujo numerador é
. - O denominador é
. - Não há constantes nem limites; queremos uma primitiva (antiderivada) geral, ou seja, a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Observação que sugere um método (substituição): a presença de
no expoente e de
no denominador sugere usar uma substituição que simplifique essa combinação. Vamos tentar a substituição
Agora calculo a diferencial
. Derivando
em relação a
(regra do derivar função composta simples):
Portanto
Essa igualdade é ótima porque o fator
aparece exatamente na integral original; isto permite reescrever a integral em termos de
.
Passo 3
Faço a substituição na integral: como
e
, temos
Expliquei: troquei
por
no expoente e
por
.
Passo 4
Agora integro em
. A integral de
é muito simples porque a derivada de
é
. Logo,
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volto à variável original substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Passo 6
Verificação rápida (útil na hora da prova): derivo a resposta para confirmar que volta para o integrando. Usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Exemplo extra rápido para fixar a técnica: para
faz-se
,
, e obtém-se
. A ideia é sempre procurar no integrando uma parte que seja derivada de outra parte (a substituição).