Calcule as integrais indefinidas abaixo:
21) \int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^{2}} d x

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados. O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é uma razão cujo numerador é e^{\arctan x}.
  • O denominador é 1+x^{2}.
  • Não há constantes nem limites; queremos uma primitiva (antiderivada) geral, ou seja, a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação que sugere um método (substituição): a presença de \arctan x no expoente e de 1+x^{2} no denominador sugere usar uma substituição que simplifique essa combinação. Vamos tentar a substituição
u=\arctan x.
Agora calculo a diferencial du. Derivando \arctan x em relação a x (regra do derivar função composta simples):
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto
du=\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Essa igualdade é ótima porque o fator \dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx aparece exatamente na integral original; isto permite reescrever a integral em termos de u.

Passo 3

Faço a substituição na integral: como du=\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx e u=\arctan x, temos
\int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^{2}}\,dx=\int e^{u}\,du.
Expliquei: troquei \arctan x por u no expoente e \dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx por du.

Passo 4

Agora integro em u. A integral de e^{u} é muito simples porque a derivada de e^{u} é e^{u}. Logo,
\int e^{u}\,du=e^{u}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volto à variável original substituindo u=\arctan x. Assim a primitiva encontrada é
e^{\arctan x}+C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na hora da prova): derivo a resposta para confirmar que volta para o integrando. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(e^{\arctan x}\big)=e^{\arctan x}\cdot\frac{d}{dx}(\arctan x)=e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{e^{\arctan x}}{1+x^{2}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Exemplo extra rápido para fixar a técnica: para \int e^{\sin x}\cos x\,dx faz-se u=\sin x, du=\cos x\,dx, e obtém-se \int e^{u}\,du=e^{u}+C=e^{\sin x}+C. A ideia é sempre procurar no integrando uma parte que seja derivada de outra parte (a substituição).

Resposta

e^{\arctan x}+C

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