Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações úteis dadas pelo enunciado:
- A variável de integração é
. - O fator
é uma constante multiplicativa em relação à integração (ou seja, pode ser tirado fora do integral). - Não há outras variáveis, então tudo que não for
é tratado como constante.
Passo 2
Observação sobre a forma do integrando: podemos reescrever a integral puxando a constante para fora:
Agora, repare que a combinação
aparece com frequência nas derivadas de funções trigonométricas — em particular aparece na derivada de
. Vamos explorar isso.
Passo 3
Lembrete (pequena aula): a função
é definida como
. A derivada de
pode ser obtida usando a regra do quociente ou escrevendo
e aplicando a regra da cadeia. Fazendo rapidamente:
Agora note que
. Portanto
Isto é exatamente o produto que temos dentro do integral.
Passo 4
Método prático (substituição): seja
Então, pela identidade anterior,
Assim a integral fica muito simples:
Passo 5
Integrando em
:
onde
é a constante de integração. Voltando para a variável original
usando
, obtemos a primitiva.
Passo 6
Verificação rápida (confirmação): derivando a primitiva obtida deve retornar o integrando. De fato,
que é exatamente o integrando original. Tudo consistente.