Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{\operatorname{tg} t \operatorname{sec} t}{2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{tg} t \,\operatorname{sec} t}{2}\,dt.
Informações úteis dadas pelo enunciado:
  • A variável de integração é t.
  • O fator 1/2 é uma constante multiplicativa em relação à integração (ou seja, pode ser tirado fora do integral).
  • Não há outras variáveis, então tudo que não for t é tratado como constante.

Passo 2

Observação sobre a forma do integrando: podemos reescrever a integral puxando a constante para fora:
\int \frac{\operatorname{tg} t \,\operatorname{sec} t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int \operatorname{tg} t \,\operatorname{sec} t\,dt.
Agora, repare que a combinação \operatorname{tg} t \,\operatorname{sec} t aparece com frequência nas derivadas de funções trigonométricas — em particular aparece na derivada de \operatorname{sec} t. Vamos explorar isso.

Passo 3

Lembrete (pequena aula): a função \operatorname{sec} t é definida como \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}. A derivada de \operatorname{sec} t pode ser obtida usando a regra do quociente ou escrevendo \operatorname{sec} t = (\cos t)^{-1} e aplicando a regra da cadeia. Fazendo rapidamente:
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = \frac{d}{dt}\big((\cos t)^{-1}\big) = -1\cdot(\cos t)^{-2}\cdot(-\sin t) = \frac{\sin t}{\cos^2 t}.
Agora note que \dfrac{\sin t}{\cos^2 t} = \dfrac{1}{\cos t}\cdot\dfrac{\sin t}{\cos t} = \operatorname{sec} t\cdot\operatorname{tg} t. Portanto
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = \operatorname{sec} t\;\operatorname{tg} t.
Isto é exatamente o produto que temos dentro do integral.

Passo 4

Método prático (substituição): seja
u=\operatorname{sec} t.
Então, pela identidade anterior,
du = \operatorname{sec} t\;\operatorname{tg} t\,dt.
Assim a integral fica muito simples:
\frac{1}{2}\int \operatorname{tg} t \,\operatorname{sec} t\,dt = \frac{1}{2}\int du.

Passo 5

Integrando em u:
\frac{1}{2}\int du = \frac{1}{2}u + C,
onde C é a constante de integração. Voltando para a variável original t usando u=\operatorname{sec} t, obtemos a primitiva.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação): derivando a primitiva obtida deve retornar o integrando. De fato,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec} t + C\right) = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = \frac{1}{2}\operatorname{sec} t\;\operatorname{tg} t,
que é exatamente o integrando original. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{1}{2}\operatorname{sec} t + C

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