Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
onde
é a variável de integração e todas as outras quantidades (se houver) são consideradas constantes. O objetivo é encontrar uma função
tal que
, mais a constante de integração
.
Passo 2
Uma observação útil: muitas integrais trigonométricas são resolvidas reconhecendo derivadas conhecidas. Vamos lembrar e provar rapidamente que a derivada de
é
.
Defina
. Usando a regra do quociente (ou regra da cadeia), temos
Agora note que
. Portanto
Isso significa que
é a derivada de
.
Passo 3
Premissa para integrar: se uma função
é a derivada de
, isto é,
, então
onde
é a constante de integração. Aqui vimos que
e
.
Passo 4
Aplicando diretamente o resultado do passo anterior, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Método alternativo (substituição), para fixar a ideia: faça
. Então
e a integral fica
Esse caminho mostra de forma direta que a substituição é natural porque o diferencial de
aparece no integrando.
Passo 6
Comentário final de didática e lembrete prático: identificar no integrando uma parte que seja a derivada de outra função é uma técnica muito poderosa em provas rápidas. Aqui reconhecer que
resolve a integral em um passo. Outra integral comum para treinar é
, pela mesma ideia.