Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{sec} \theta \operatorname{tg} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta,
onde \theta é a variável de integração e todas as outras quantidades (se houver) são consideradas constantes. O objetivo é encontrar uma função F(\theta) tal que F'(\theta)=\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta, mais a constante de integração C.

Passo 2

Uma observação útil: muitas integrais trigonométricas são resolvidas reconhecendo derivadas conhecidas. Vamos lembrar e provar rapidamente que a derivada de \operatorname{sec}\theta é \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta.
Defina \operatorname{sec}\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}. Usando a regra do quociente (ou regra da cadeia), temos
\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sec}\theta\big) = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\cos\theta}\right) = \frac{0\cdot\cos\theta - 1\cdot(-\sin\theta)}{\cos^2\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}.
Agora note que \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{1}{\cos\theta}\cdot\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\operatorname{sec}\theta\cdot\tan\theta. Portanto
\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sec}\theta\big)=\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta.
Isso significa que \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta é a derivada de \operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Premissa para integrar: se uma função g(\theta) é a derivada de h(\theta), isto é, g(\theta)=h'(\theta), então
\int g(\theta)\,d\theta = h(\theta)+C,
onde C é a constante de integração. Aqui vimos que g(\theta)=\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta e h(\theta)=\operatorname{sec}\theta.

Passo 4

Aplicando diretamente o resultado do passo anterior, obtemos
\int \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Método alternativo (substituição), para fixar a ideia: faça u=\operatorname{sec}\theta. Então
du = \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta,
e a integral fica
\int \operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta = \int du = u + C = \operatorname{sec}\theta + C.
Esse caminho mostra de forma direta que a substituição é natural porque o diferencial de \operatorname{sec}\theta aparece no integrando.

Passo 6

Comentário final de didática e lembrete prático: identificar no integrando uma parte que seja a derivada de outra função é uma técnica muito poderosa em provas rápidas. Aqui reconhecer que \frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta resolve a integral em um passo. Outra integral comum para treinar é \int \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta=\tan\theta+C, pela mesma ideia.

Resposta

\operatorname{sec}\theta + C

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