Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{\operatorname{sec} x \operatorname{tg} x-\operatorname{sec} ^{2} x}{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec} x\;\operatorname{tg} x - \operatorname{sec}^{2} x}{2}\,dx.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A função a integrar é \dfrac{\operatorname{sec} x\;\operatorname{tg} x - \operatorname{sec}^{2} x}{2}.
  • A variável de integração é x.
  • Constantes (como C) podem aparecer no final da primitiva.

Passo 2

Vamos reescrever a integral de forma mais clara, separando o fator 1/2:
\int \frac{\operatorname{sec} x\;\operatorname{tg} x - \operatorname{sec}^{2} x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int\big(\operatorname{sec} x\;\operatorname{tg} x - \operatorname{sec}^{2} x\big)\,dx.
Isto permite tratar a integral como uma combinação linear de termos mais simples.

Passo 3

Conhecimento útil (e que vou justificar): as derivadas das funções trigonométricas envolvidas são
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\big)=\operatorname{sec} x\;\tan x \qquad\text{e}\qquad \frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2} x.
Explicando rapidamente por que isso vale (aula rápida): escrevendo \operatorname{sec} x = 1/\cos x e derivando com a regra do quociente (ou regra da cadeia),
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\big)=\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)^{-1} = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{sec} x\;\tan x.
Para \tan x = \sin x/\cos x aplicar a regra do quociente dá diretamente \operatorname{sec}^{2} x.

Passo 4

Observando as derivadas acima, note que a combinação
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x - \tan x\big)=\operatorname{sec} x\;\tan x - \operatorname{sec}^{2} x.
Logo o integrando interior (sem o 1/2) é exatamente a derivada de \operatorname{sec} x-\tan x. Assim podemos escrever
\frac{1}{2}\int\big(\operatorname{sec} x\;\operatorname{tg} x - \operatorname{sec}^{2} x\big)\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x-\tan x\big)\,dx.
Integrar uma derivada é recuperar a função (até uma constante), portanto
\frac{1}{2}\int \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x-\tan x\big)\,dx = \frac{1}{2}\big(\operatorname{sec} x-\tan x\big)+C.

Passo 5

Como alternativa (mesma ideia feita com substituição): definir u=\operatorname{sec} x-\tan x. Então
du=(\operatorname{sec} x\;\tan x-\operatorname{sec}^{2} x)\,dx,
e a integral fica \dfrac{1}{2}\int du=\dfrac{u}{2}+C=\dfrac{\operatorname{sec} x-\tan x}{2}+C. Ambas as formas chegam ao mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sec} x-\tan x}{2}+C

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