Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações fornecidas e observações iniciais:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Constantes (como
) podem aparecer no final da primitiva.
Passo 2
Vamos reescrever a integral de forma mais clara, separando o fator
:
Isto permite tratar a integral como uma combinação linear de termos mais simples.
Passo 3
Conhecimento útil (e que vou justificar): as derivadas das funções trigonométricas envolvidas são
Explicando rapidamente por que isso vale (aula rápida): escrevendo
e derivando com a regra do quociente (ou regra da cadeia),
Para
aplicar a regra do quociente dá diretamente
.
Passo 4
Observando as derivadas acima, note que a combinação
Logo o integrando interior (sem o
) é exatamente a derivada de
. Assim podemos escrever
Integrar uma derivada é recuperar a função (até uma constante), portanto
Passo 5
Como alternativa (mesma ideia feita com substituição): definir
. Então
e a integral fica
. Ambas as formas chegam ao mesmo resultado.