Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{e^{t}}{15} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{t}}{15}\,dt.
Informações relevantes:
  • A variável de integração é t.
  • A expressão 1/15 é uma constante em relação a t.
  • Devemos dar a antiderivada (integral indefinida), ou seja, a função cuja derivada é o integrando, acrescida de uma constante arbitrária C.

Passo 2

Regra útil: um fator constante pode ser retirado para fora da integral. Em termos gerais vale:
\int a\cdot f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt,
onde a é constante (independente de t). Isso simplifica o problema porque reduz a integral a uma forma conhecida.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso, com a=\dfrac{1}{15} e f(t)=e^{t}, obtemos
\int \frac{e^{t}}{15}\,dt = \frac{1}{15}\int e^{t}\,dt.

Passo 4

Fato fundamental sobre a exponencial: a função e^{t} é a própria derivada de si mesma. Ou seja,
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)=e^{t}.
Portanto, uma primitiva de e^{t} é e^{t} (mais uma constante). Logo
\int e^{t}\,dt = e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo a primitiva de e^{t} na expressão do Passo 3:
\frac{1}{15}\int e^{t}\,dt = \frac{1}{15}\big(e^{t} + C\big).
Como \dfrac{1}{15}C é outra constante arbitrária, podemos escrever simplesmente
\frac{1}{15}e^{t} + C.

Passo 6

Verificação rápida (para eu te deixar mais confiante): derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{15}e^{t} + C\right) = \frac{1}{15}e^{t},
que coincide com o integrando original. Está tudo certo!

Resposta

\dfrac{1}{15}e^{t} + C

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