Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - Elementos que não forem variáveis de integração são consideradas constantes (não há outras variáveis aqui).
- Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) da função
.
Passo 2
Uma estratégia clássica e elementar é usar uma substituição trigonométrica que simplifica a raiz
. Vou propor a substituição
que é natural porque
. Preciso também relacionar as diferenciais: como
, então
Passo 3
Calcular a diferencial:
E a raiz se transforma assim:
Aqui aparece o valor absoluto. Para evitar complicações, escolhemos o ramo principal da função arco-seno, em que
e
. Nessa faixa vale
, logo
. (Essa escolha é padrão ao usar
para integrais envolvendo
.)
Passo 4
Substituindo na integral:
Pelo comentário anterior, usamos
, então o integrando simplifica para
.
Passo 5
Integrando em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Retornando à variável
: como definimos
, obtemos
Observação rápida e útil para a prova: também se pode lembrar diretamente da fórmula derivada inversa — a derivada de
é
— o que dá a primitiva imediatamente.