Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} d u

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du.
Informações dadas:
  • A variável de integração é u.
  • Elementos que não forem variáveis de integração são consideradas constantes (não há outras variáveis aqui).
  • Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) da função u\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 2

Uma estratégia clássica e elementar é usar uma substituição trigonométrica que simplifica a raiz \sqrt{1-u^{2}}. Vou propor a substituição
u=\sin\theta,
que é natural porque \,1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta. Preciso também relacionar as diferenciais: como u=\sin\theta, então

Passo 3

Calcular a diferencial:
du=\cos\theta\,d\theta.
E a raiz se transforma assim:
\sqrt{1-u^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{\cos^{2}\theta}=|\cos\theta|.
Aqui aparece o valor absoluto. Para evitar complicações, escolhemos o ramo principal da função arco-seno, em que \theta=\arcsin(u) e \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Nessa faixa vale \cos\theta\ge 0, logo |\cos\theta|=\cos\theta. (Essa escolha é padrão ao usar u=\sin\theta para integrais envolvendo \sqrt{1-u^{2}}.)

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du =\int \frac{1}{|\cos\theta|}\cdot(\cos\theta\,d\theta) =\int \frac{\cos\theta}{\cos\theta}\,d\theta =\int 1\,d\theta.
Pelo comentário anterior, usamos |\cos\theta|=\cos\theta, então o integrando simplifica para 1.

Passo 5

Integrando em \theta:
\int 1\,d\theta=\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Retornando à variável u: como definimos \theta=\arcsin(u), obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,du=\arcsin(u)+C.
Observação rápida e útil para a prova: também se pode lembrar diretamente da fórmula derivada inversa — a derivada de \arcsin(u) é \dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} — o que dá a primitiva imediatamente.

Resposta

\arcsin(u)+C

Exercícios relacionados