Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração é
. - O número
é uma constante em relação a . - Queremos uma primitiva (função cuja derivada seja o integrando), mais uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Usar a propriedade de linearidade da integral: se
é constante e
é integrável, então
Aqui podemos tirar o
para fora da integral:
Passo 3
Lembrar a primitiva conhecida da função
. A função arcotangente satisfaz
Explicação curta do porquê: se
então
e
, logo
. Assim
é uma primitiva de
.
Passo 4
Aplicando isso à integral que temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida: derivando o resultado obtemos
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.