Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{15}{1+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O número 15 é uma constante em relação a x.
  • Queremos uma primitiva (função cuja derivada seja o integrando), mais uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Usar a propriedade de linearidade da integral: se k é constante e f(x) é integrável, então
\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx.
Aqui podemos tirar o 15 para fora da integral:
\int \frac{15}{1+x^{2}}\,dx = 15\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Lembrar a primitiva conhecida da função 1/(1+x^{2}). A função arcotangente satisfaz
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Explicação curta do porquê: se y=\arctan(x) então x=\tan(y) e \frac{dx}{dy}=\operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y)=1+x^{2}, logo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Assim \arctan(x) é uma primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Aplicando isso à integral que temos:
15\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = 15\arctan(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida: derivando o resultado obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(15\arctan(x)+C\bigr)=15\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{15}{1+x^{2}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

15\arctan(x)+C

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