Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração. \int \operatorname{sec} \theta d \theta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
A variável de integração é \theta. Constantes (se houver) devem ser tratadas como constantes. O objetivo é encontrar uma primitiva F(\theta) tal que F'(\theta)=\operatorname{sec}\theta.
Passo 2
Vamos usar um truque clássico: multiplicar a integranda por 1 na forma \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}. Isso é permitido porque não altera o valor da expressão (desde que o denominador não seja zero). Escrevendo:
Portanto o numerador \operatorname{sec}^2\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta é exatamente \dfrac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta).
Explicação sobre o valor absoluto: o logaritmo natural exige argumento positivo; como \operatorname{sec}\theta+\tan\theta pode ser negativo para alguns \theta, colocamos valor absoluto para cobrir todos os casos.