Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{sec} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
A variável de integração é \theta. Constantes (se houver) devem ser tratadas como constantes. O objetivo é encontrar uma primitiva F(\theta) tal que F'(\theta)=\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Vamos usar um truque clássico: multiplicar a integranda por 1 na forma \dfrac{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}. Isso é permitido porque não altera o valor da expressão (desde que o denominador não seja zero). Escrevendo:
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
Observe o numerador:
\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)=\operatorname{sec}^2\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta.

Passo 3

Agora precisamos reconhecer que a expressão do numerador é exatamente a derivada do denominador. Vamos revisar as derivadas que usamos (pequena aula):
  • A derivada de \tan\theta é \dfrac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^2\theta.
  • A derivada de \operatorname{sec}\theta é \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}\theta\tan\theta.
    Somando,
\frac{d}{d\theta}\bigl(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr) =\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^2\theta.
Portanto o numerador \operatorname{sec}^2\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta é exatamente \dfrac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta).

Passo 4

Fazendo a substituição conveniente
u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta,
temos
du=\bigl(\operatorname{sec}^2\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta\bigr)\,d\theta.
Assim a integral fica
\int \frac{\operatorname{sec}^2\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{du}{u}.
A integral de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural:
\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.

Passo 5

Voltando à variável original \theta, substituímos u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta e obtemos a primitiva
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C.
Explicação sobre o valor absoluto: o logaritmo natural exige argumento positivo; como \operatorname{sec}\theta+\tan\theta pode ser negativo para alguns \theta, colocamos valor absoluto para cobrir todos os casos.

Resposta

\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C

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