Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{tg} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{tg}\theta\,d\theta.
Informações dadas (considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração):
  • A variável de integração é \theta.
  • A função a integrar é \operatorname{tg}\theta (tan em notação comum).
  • A resposta final deve incluir a constante de integração, que chamaremos de C.

Passo 2

Escrevendo a tangente em termos de seno e cosseno para facilitar:
\operatorname{tg}\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Portanto a integral fica
\int \operatorname{tg}\theta\,d\theta = \int \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\,d\theta.
Explicação didática: dividir funções ajuda quando o numerador é (ou pode ser transformado em) a derivada do denominador — aí fica natural usar uma substituição simples.

Passo 3

Aplicar substituição. Definir a nova variável
u=\cos\theta.
Calcular o diferencial de u: usar a regra da derivada do cosseno,
du = -\sin\theta\,d\theta.
Isolando \sin\theta\,d\theta obtemos
\sin\theta\,d\theta = -du.
Substituindo na integral inicial:
\int \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\,d\theta = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u}.
Aqui usei que u=\cos\theta (peguei essa relação da transformação que fiz acima).

Passo 4

Integrar a função \dfrac{1}{u}. Fórmula básica: para u\neq 0,
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
Portanto
-\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C.
Agora voltar para a variável original usando u=\cos\theta:
-\ln|u| + C = -\ln|\cos\theta| + C.
Observação sobre o valor absoluto: \ln|u| garante que o logaritmo é bem definido tanto para u>0 quanto para u<0; como \cos\theta pode mudar de sinal, é correto manter o valor absoluto.

Passo 5

Apresentar formas equivalentes e verificar por derivação. Uma forma frequentemente preferida é usar a secante:
-\ln|\cos\theta| + C = \ln\!\big|\operatorname{sec}\theta\big| + C,
pois \operatorname{sec}\theta = 1/\cos\theta e -\ln|\cos\theta|=\ln(1/|\cos\theta|)=\ln|\operatorname{sec}\theta|.
Verificação rápida (para aumentar confiança): derivando -\ln|\cos\theta| pelo teorema da cadeia:
\frac{d}{d\theta}\big(-\ln|\cos\theta|\big) = -\frac{1}{\cos\theta}\cdot\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)\cdot\operatorname{sgn}(\cos\theta\!)\!,
mas como a derivada de \cos\theta é -\sin\theta e a presença do valor absoluto fica consistente, o resultado simplificado é
\frac{d}{d\theta}\big(-\ln|\cos\theta|\big) = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \operatorname{tg}\theta,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

-\ln|\cos\theta| + C
\ln|\operatorname{sec}\theta| + C

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