Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração. \int \operatorname{tg} \theta d \theta
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{tg}\theta\,d\theta.
Informações dadas (considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração):
A variável de integração é \theta.
A função a integrar é \operatorname{tg}\theta (tan em notação comum).
A resposta final deve incluir a constante de integração, que chamaremos de C.
Passo 2
Escrevendo a tangente em termos de seno e cosseno para facilitar:
Explicação didática: dividir funções ajuda quando o numerador é (ou pode ser transformado em) a derivada do denominador — aí fica natural usar uma substituição simples.
Passo 3
Aplicar substituição. Definir a nova variável
u=\cos\theta.
Calcular o diferencial de u: usar a regra da derivada do cosseno,
Aqui usei que u=\cos\theta (peguei essa relação da transformação que fiz acima).
Passo 4
Integrar a função \dfrac{1}{u}. Fórmula básica: para u\neq 0,
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.
Portanto
-\int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C.
Agora voltar para a variável original usando u=\cos\theta:
-\ln|u| + C = -\ln|\cos\theta| + C.
Observação sobre o valor absoluto: \ln|u| garante que o logaritmo é bem definido tanto para u>0 quanto para u<0; como \cos\theta pode mudar de sinal, é correto manter o valor absoluto.
Passo 5
Apresentar formas equivalentes e verificar por derivação. Uma forma frequentemente preferida é usar a secante:
-\ln|\cos\theta| + C = \ln\!\big|\operatorname{sec}\theta\big| + C,
pois \operatorname{sec}\theta = 1/\cos\theta e -\ln|\cos\theta|=\ln(1/|\cos\theta|)=\ln|\operatorname{sec}\theta|.
Verificação rápida (para aumentar confiança): derivando -\ln|\cos\theta| pelo teorema da cadeia: