Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int 15 \operatorname{sec} x+\frac{x}{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \left(15\operatorname{sec} x+\frac{x}{2}\right)\,dx.
Informações importantes fornecidas:
  • A variável de integração é x.
  • Elementos que não dependem de x devem ser tratados como constantes (aqui o número 15 e o fator \tfrac{1}{2} são constantes).
  • Devemos encontrar uma primitiva (ou família de primitivas), i.e. uma função cuja derivada é o integrando.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade das integrais, que diz que para constantes a,b e funções f,g,
\int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso caso obtemos
\int \left(15\operatorname{sec} x+\frac{x}{2}\right)\,dx =15\int \operatorname{sec} x\,dx + \frac{1}{2}\int x\,dx.
Agora vamos calcular separadamente \displaystyle\int \operatorname{sec} x\,dx e \displaystyle\int x\,dx.

Passo 3

Primeiro, a integral de \operatorname{sec} x. Não é óbvia à primeira vista, então usamos um truque clássico: multiplicar e dividir por (\operatorname{sec} x+\tan x) para obter uma forma cujo numerador seja exatamente a derivada do denominador.
Começamos escrevendo
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \operatorname{sec} x\cdot\frac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^2 x+\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.

Passo 4

Agora fazemos a substituição
u=\operatorname{sec} x+\tan x.
Calculamos du. Como \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x e \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x, temos
du=(\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x)\,dx.
Observe que o numerador da integral que obtivemos no Passo 3 é exatamente du. Portanto a integral fica
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| + C.
Assim concluímos que
\int \operatorname{sec} x\,dx = \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| + C.

Passo 5

Para ter segurança, verificamos rapidamente derivando a primitiva obtida. Seja u=\operatorname{sec} x+\tan x. Então
\frac{d}{dx}\ln|u|=\frac{u'}{u}=\frac{\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x}{\operatorname{sec} x+\tan x}=\operatorname{sec} x,
portanto a primitiva está correta.

Passo 6

Agora calculamos \displaystyle\int x\,dx. Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq-1,
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No caso n=1, obtemos
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 7

Voltando à decomposição do Passo 2, juntamos as primitivas com os fatores constantes:
15\int \operatorname{sec} x\,dx + \frac{1}{2}\int x\,dx =15\bigl(\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|\bigr) + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} + C.
Simplificando o segundo termo,
\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}.
Portanto a primitiva geral é
15\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+\frac{x^{2}}{4}+C.

Resposta

15\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|+\dfrac{x^{2}}{4}+C

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