Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações importantes fornecidas:
- A variável de integração é
. - Elementos que não dependem de
devem ser tratados como constantes (aqui o número e o fator são constantes). - Devemos encontrar uma primitiva (ou família de primitivas), i.e. uma função cuja derivada é o integrando.
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade das integrais, que diz que para constantes
e funções
,
Aplicando isso ao nosso caso obtemos
Agora vamos calcular separadamente
e
.
Passo 3
Primeiro, a integral de
. Não é óbvia à primeira vista, então usamos um truque clássico: multiplicar e dividir por
para obter uma forma cujo numerador seja exatamente a derivada do denominador.
Começamos escrevendo
Passo 4
Agora fazemos a substituição
Calculamos
. Como
e
, temos
Observe que o numerador da integral que obtivemos no Passo 3 é exatamente
. Portanto a integral fica
Assim concluímos que
Passo 5
Para ter segurança, verificamos rapidamente derivando a primitiva obtida. Seja
. Então
portanto a primitiva está correta.
Passo 6
Agora calculamos
. Usamos a regra de potência para integrais: para
,
No caso
, obtemos
Passo 7
Voltando à decomposição do Passo 2, juntamos as primitivas com os fatores constantes:
Simplificando o segundo termo,
Portanto a primitiva geral é