Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração. \int \frac{A}{\cos u} d u
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{A}{\cos u}\,du,
onde \,A\, é uma constante (isto é, não depende de u). As perguntas implícitas: simplificar a expressão e encontrar uma primitiva (função cuja derivada seja o integrando), incluindo a constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo técnico simples: como A é constante, pode ser tirado fora da integral. Assim escrevemos
Explicação do porquê: a integral é linear, então multiplicar por constante sai da integral — isso facilita porque agora só precisamos integrar \dfrac{1}{\cos u}.
Passo 3
Reconhecer a função trigonométrica: \dfrac{1}{\cos u} é a função secante, escrita \operatorname{sec} u. Portanto
Agora a tarefa virou: calcular \int \operatorname{sec} u\,du. Essa integral tem uma técnica padrão elegante que vamos aplicar passo a passo.
Passo 4
Técnica padrão para \int \operatorname{sec} u\,du: multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec} u + \tan u (isso não altera a função) para obter uma forma que é a derivada do denominador. Fazemos:
A ideia é que o numerador \operatorname{sec}^2 u + \operatorname{sec} u\tan u é exatamente a derivada de \operatorname{sec} u + \tan u. Vamos verificar isso e usar substituição.
Passo 5
Calculamos a derivada de \operatorname{sec} u + \tan u:
\frac{d}{du}(\operatorname{sec} u + \tan u) = \operatorname{sec} u\tan u + \operatorname{sec}^2 u.
Portanto, se fizermos a substituição
v = \operatorname{sec} u + \tan u,
temos
dv = (\operatorname{sec} u\tan u + \operatorname{sec}^2 u)\,du.
Observando a expressão do Passo 4, o numerador é exatamente dv. Assim a integral transforma-se em
\int \frac{\operatorname{sec}^2 u + \operatorname{sec} u\tan u}{\operatorname{sec} u + \tan u}\,du = \int \frac{dv}{v}.
Passo 6
A integral \int \dfrac{dv}{v} é uma primitiva básica: ela vale \ln|v| + C. Portanto
\int \operatorname{sec} u\,du = \ln\bigl|v\bigr| + C = \ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr| + C,
onde C é a constante de integração. Retornando o fator A que tiramos no Passo 2, obtemos a primitiva da integral original.