Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \operatorname{tg} x-2 d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integrais indefinidas) da função \operatorname{tg} x - 2 em relação a x. Informações relevantes:
  • A variável de integração é x.
  • A expressão a integrar é \operatorname{tg} x - 2.
  • O número 2 é constante (não depende de x).
  • Queremos uma antiderivada geral, isto é, a primitiva com a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais. Logo,
\int \bigl(\operatorname{tg} x - 2\bigr)\,dx=\int \operatorname{tg} x\,dx-\int 2\,dx.
Explicando a regra: para quaisquer funções f e g e constante a vale \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx e \int a\,dx = a x + C.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int 2\,dx. Pelo fato de 2 ser constante,
\int 2\,dx=2x + C_2,
onde C_2 é uma constante de integração. Como estamos subtraindo essa integral, a contribuição será -2x (mais a constante que será combinada depois).

Passo 4

Agora \displaystyle \int \operatorname{tg} x\,dx. Primeiro reescrevemos \operatorname{tg} x em termos de seno e cosseno:
\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Então
\int \operatorname{tg} x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
Para essa integral usamos substituição simples: defina u=\cos x. Então du=-\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx=-du. Substituindo,
\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int \frac{-du}{u}=-\int \frac{du}{u}.

Passo 5

A integral \displaystyle \int \frac{du}{u} é \ln|u|+C_1. Portanto
-\int \frac{du}{u}=-\ln|u|+C_1.
Voltando para x (lembre que u=\cos x),
\int \operatorname{tg} x\,dx=-\ln\bigl|\cos x\bigr|+C_1.
Comentário importante: o valor absoluto em \ln|\,\cdot\,| aparece porque o logaritmo natural só aceita argumentos positivos, e \cos x pode ser negativo dependendo de x.

Passo 6

Somando as duas primitivas parciais (a de \operatorname{tg} x e a de -2) obtemos uma primitiva geral:
-\ln\bigl|\cos x\bigr| - 2x + C_1 + C_2.
Como C_1+C_2 é mais uma constante arbitrária, escrevemos simplesmente C para representar a constante de integração geral.

Resposta

-\ln\bigl|\cos x\bigr| - 2x + C

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