Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{B}{\operatorname{sen} u} d u

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: \displaystyle \int \frac{B}{\operatorname{sen} u}\,du.
  • Informação adicional: B é constante (não depende de u).
  • Pedido: calcular a primitiva (integração indefinida), ou seja encontrar uma função F(u) tal que F'(u)=\dfrac{B}{\operatorname{sen} u}.

Passo 2

Aplicar a regra do fator constante (produto por constante):
  • Regra: se k é constante então \displaystyle \int k\cdot f(u)\,du = k\int f(u)\,du.
  • Assim
\displaystyle \int \frac{B}{\operatorname{sen} u}\,du = B\int \frac{1}{\operatorname{sen} u}\,du.
  • Observação: vou usar a notação trigonométrica padrão em LaTeX, escrevendo \sin u no lugar de \operatorname{sen} u. Então precisamos calcular \displaystyle \int \csc u\,du, onde \csc u=\dfrac{1}{\sin u}.

Passo 3

Escolher um método conveniente para \displaystyle \int \csc u\,du. Vou usar a substituição das semi-ângulos (substituição de Weierstrass):
  • Faça a substituição \displaystyle t=\tan\!\left(\frac{u}{2}\right). Esta escolha é útil porque transforma funções trigonométricas em racionais. Precisamos das fórmulas:
\sin u=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad du=\frac{2}{1+t^{2}}\,dt.
(Estas identidades vêm de expressar \sin u e \cos u em termos de \tan(u/2); se quiser, posso detalhar a derivação delas.)
  • Substituindo na integral:
\csc u\,du=\frac{1}{\sin u}\,du=\frac{1+t^{2}}{2t}\cdot\frac{2}{1+t^{2}}\,dt=\frac{1}{t}\,dt.
  • Portanto
\int \csc u\,du=\int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C,
onde C é a constante de integração. Voltando a u pela substituição t=\tan\!\left(\dfrac{u}{2}\right), obtemos
\int \csc u\,du=\ln\left|\tan\!\left(\frac{u}{2}\right)\right|+C.

Passo 4

Retornar ao fator B que tínhamos destacado:
\int \frac{B}{\sin u}\,du = B\int \csc u\,du = B\ln\left|\tan\!\left(\frac{u}{2}\right)\right| + C,
onde C é a constante de integração geral.

Passo 5

Observação útil para provas: existe outra forma equivalente frequentemente vista:
\ln\left|\tan\!\left(\frac{u}{2}\right)\right|=\ln\left|\csc u-\cot u\right|,
porque \csc u-\cot u=\dfrac{1-\cos u}{\sin u}=\tan\!\left(\dfrac{u}{2}\right). Então também se pode escrever a resposta como B\ln\big|\csc u-\cot u\big|+C. Memorize uma das formas (eu geralmente uso \ln|\tan(u/2)|).

Resposta

B\displaystyle \ln\!\left|\tan\!\left(\dfrac{u}{2}\right)\right| + C

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