Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{D}{\operatorname{cosec} u} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{D}{\operatorname{cosec} u}\,du,
onde D é uma constante (ou seja, não depende de u). As perguntas implícitas: simplificar a integranda e integrar em relação a u.

Passo 2

Usar a identidade trigonométrica que relaciona a cosecante com o seno:
\operatorname{cosec} u = \frac{1}{\sin u}.
Portanto
\frac{1}{\operatorname{cosec} u}=\sin u.

Passo 3

Substituindo na integranda obtemos
\frac{D}{\operatorname{cosec} u}=D\sin u,
logo a integral vira
\int \frac{D}{\operatorname{cosec} u}\,du=\int D\sin u\,du.

Passo 4

Fatorar a constante D para fora da integral (propriedade linear da integral):
\int D\sin u\,du = D\int \sin u\,du.
Aqui use-se a regra geral \int a\,f(u)\,du = a\int f(u)\,du quando a é constante.

Passo 5

Conhecer a primitiva básica do seno: \int \sin u\,du = -\cos u + C. Isso pode ser verificado lembrando que \dfrac{d}{du}(\cos u)=-\sin u, logo \dfrac{d}{du}(-\cos u)=\sin u.
Aplicando,
D\int \sin u\,du = D\bigl(-\cos u\bigr)+C = -D\cos u + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-D\cos u + C

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