Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int x(x+15) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int x(x+15)\,dx.
Informações dadas: a variável de integração é x e o número 15 é constante. O objetivo é encontrar uma primitiva dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x(x+15).

Passo 2

Escolha do método e regras que vou usar (explicadas de forma bem prática):
  • Vou expandir o produto primeiro porque integrar soma termo a termo é mais simples do que tentar usar alguma substituição.
  • Regra da linearidade: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
  • Regra do fator constante: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, com a constante.
  • Regra do poder (power rule): para n\neq -1,
\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui usaremos esses fatos para integrar termos do tipo x^2 e x.

Passo 3

Expandir o integrando:
\displaystyle x(x+15)=x^2+15x.
Portanto
\displaystyle \int x(x+15)\,dx = \int (x^2+15x)\,dx.

Passo 4

Aplicar a linearidade e integrar termo a termo:
\displaystyle \int (x^2+15x)\,dx = \int x^2\,dx + \int 15x\,dx.
Usando a regra do poder:
\displaystyle \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C_1,
e usando a regra do fator constante junto com a regra do poder:
\displaystyle \int 15x\,dx = 15\int x\,dx = 15\cdot\frac{x^2}{2} + C_2 = \frac{15}{2}x^2 + C_2.

Passo 5

Somando as primitivas e juntando as constantes (coleto tudo em uma única constante C):
\displaystyle \int x(x+15)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{15}{2}x^2 + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para checar):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^3}{3} + \frac{15}{2}x^2 + C\right) = x^2 + 15x,
que é exatamente o integrando, então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^3}{3} + \frac{15}{2}x^2 + C

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