Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{B}{\cos u} d u

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{B}{\cos u}\,du,
onde B é constante (não depende de u). O objetivo é obter uma primitiva dessa função em termos de u, mais uma constante de integração.

Passo 2

Como B é constante, posso colocá‑lo fora da integral. Além disso, \dfrac{1}{\cos u} é a função secante. Portanto
\int \frac{B}{\cos u}\,du = B \int \operatorname{sec} u\,du.
Explicando: \operatorname{sec} u é definida por \operatorname{sec} u = \dfrac{1}{\cos u}.

Passo 3

Agora precisamos calcular \int \operatorname{sec} u\,du. Há um truque clássico: multiplicar a integranda por \dfrac{\operatorname{sec} u+\tan u}{\operatorname{sec} u+\tan u} (que vale 1) para obter no numerador a derivada do denominador. Assim,
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \frac{\operatorname{sec} u(\operatorname{sec} u+\tan u)}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du = \int \frac{\operatorname{sec}^2 u + \operatorname{sec} u\,\tan u}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du.

Passo 4

Fazemos a substituição
v = \operatorname{sec} u + \tan u.
Calculamos dv:
dv = (\operatorname{sec} u\,\tan u + \operatorname{sec}^2 u)\,du.
Note que o numerador da integral do Passo 3 é exatamente dv. Assim a integral fica
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \frac{dv}{v} = \ln|v| + C.
Voltando à variável u,
\int \operatorname{sec} u\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr| + C.

Passo 5

Multiplicando pelo B que ficou fora (Passo 2), obtemos a primitiva procurada:
\int \frac{B}{\cos u}\,du = B\,\ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr| + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta,
\frac{d}{du}\!\left(B\ln\bigl|\operatorname{sec} u+\tan u\bigr|\right) = B\cdot\frac{\operatorname{sec} u\,\tan u+\operatorname{sec}^2 u}{\operatorname{sec} u+\tan u} = B\cdot\operatorname{sec} u = \frac{B}{\cos u},
ou seja, a primitiva está correta.

Resposta

B\ln\bigl|\operatorname{sec} u+\tan u\bigr|+C

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