Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{e^{2 x}}{1+e^{2 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • A variável de integração é x.
  • Elementos que não forem variável de integração são constantes (aqui não há outras variáveis).
  • A resposta deve ser uma primitiva (uma família de funções) mais uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia para resolver (sem resolver ainda): reparar que o denominador 1+e^{2x} tem derivada proporcional ao numerador e^{2x}. Quando uma integral tem a forma \dfrac{f'(x)}{f(x)} sabemos que a primitiva é \ln|f(x)|. Vou usar uma substituição que explora exatamente isso.
Pequena explicação do método que vou usar (substituição):
  • A técnica da substituição consiste em definir uma nova variável u que simplifica a integral.
  • Se \,u=f(x) então \,du=f'(x)\,dx. Isso permite reescrever a integral em termos de u.
  • Aqui escolho a substituição para transformar a fração em algo do tipo \dfrac{du}{u}, cuja primitiva é \ln|u|.

Passo 3

Escolher a substituição: defina
u = 1 + e^{2x}.
Agora calculo du. Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + e^{2x}) = 2e^{2x}.
Logo, em diferencial,
du = 2e^{2x}\,dx.

Passo 4

Reescrever e^{2x}\,dx em função de du. Da relação anterior temos
e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituo isso na integral original:
\int \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\,dx = \int \frac{1}{u}\left(\frac{1}{2}\,du\right).

Passo 5

Simplificar a integral em u:
\int \frac{1}{u}\left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
Conhecimento usado: a primitiva de \dfrac{1}{u} em termos de u é \ln|u| + C. Explicando: isso vem do fato que \dfrac{d}{du}\ln|u| = \dfrac{1}{u}.

Passo 6

Integrando em u:
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C.

Passo 7

Voltar para a variável x (substituição inversa). Lembrando que u = 1 + e^{2x} e que 1+e^{2x}>0 para todo x, então podemos retirar o valor absoluto:
\frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln(1+e^{2x}) + C.

Passo 8

Verificação rápida (derivação do resultado para conferir): diferenciando
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln(1+e^{2x})\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+e^{2x}}\cdot 2e^{2x} = \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva encontrada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln(1+e^{2x})+C

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