Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas importantes:
- A variável de integração é
. - Elementos que não forem variável de integração são constantes (aqui não há outras variáveis).
- A resposta deve ser uma primitiva (uma família de funções) mais uma constante de integração
.
Passo 2
Ideia para resolver (sem resolver ainda): reparar que o denominador
tem derivada proporcional ao numerador
. Quando uma integral tem a forma
sabemos que a primitiva é
. Vou usar uma substituição que explora exatamente isso.
Pequena explicação do método que vou usar (substituição):
- A técnica da substituição consiste em definir uma nova variável
que simplifica a integral. - Se
então . Isso permite reescrever a integral em termos de . - Aqui escolho a substituição para transformar a fração em algo do tipo
, cuja primitiva é .
Passo 3
Escolher a substituição: defina
Agora calculo
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Logo, em diferencial,
Passo 4
Reescrever
em função de
. Da relação anterior temos
Substituo isso na integral original:
Passo 5
Simplificar a integral em
:
Conhecimento usado: a primitiva de
em termos de
é
. Explicando: isso vem do fato que
.
Passo 6
Integrando em
:
Passo 7
Voltar para a variável
(substituição inversa). Lembrando que
e que
para todo
, então podemos retirar o valor absoluto:
Passo 8
Verificação rápida (derivação do resultado para conferir): diferenciando
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva encontrada está correta.