Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo, onde
é a variável de integração e
é uma constante:
Lista das informações dadas:
- Integrando:
. - Variável de integração:
. - Constantes:
(e a constante de integração que aparecerá no final).
Passo 2
Observação útil (pequena aula): quando você vê uma expressão da forma
, a integral é
porque
. Aqui, note que a derivada de
é
. Então na nossa integral existe algo muito próximo de
: temos
no numerador e
no denominador. Isso indica que a substituição
vai funcionar bem.
Passo 3
Fatorar constantes para facilitar:
Agora fazemos a substituição explícita: seja
. Então
. A integral fica
Passo 4
Conhecendo a primitiva de
:
. Assim
Voltando para a variável
(substituindo
):
Passo 5
Comentário final sobre valor absoluto: aqui
para todo
, então
. Podemos simplificar e escrever a resposta sem o valor absoluto. Para checar, podemos derivar a resposta e ver que
que é exatamente o integrando. Tudo coerente!