Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15 x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo, onde x é a variável de integração e 15 é uma constante:
\int \frac{15x}{1+x^{2}}\,dx
Lista das informações dadas:
  • Integrando: \dfrac{15x}{1+x^{2}}.
  • Variável de integração: x.
  • Constantes: 15 (e a constante de integração que aparecerá no final).

Passo 2

Observação útil (pequena aula): quando você vê uma expressão da forma \dfrac{f'(x)}{f(x)}, a integral é \ln|f(x)| porque \dfrac{d}{dx}\ln|f(x)|=\dfrac{f'(x)}{f(x)}. Aqui, note que a derivada de 1+x^{2} é 2x. Então na nossa integral existe algo muito próximo de \dfrac{f'(x)}{f(x)}: temos x no numerador e 1+x^{2} no denominador. Isso indica que a substituição u=1+x^{2} vai funcionar bem.

Passo 3

Fatorar constantes para facilitar:
\int \frac{15x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{15}{2}\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Agora fazemos a substituição explícita: seja \,u=1+x^{2}. Então \,du=2x\,dx. A integral fica
\frac{15}{2}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Conhecendo a primitiva de 1/u: \int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+C. Assim
\frac{15}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{15}{2}\ln|u|+C.
Voltando para a variável x (substituindo u=1+x^{2}):
\frac{15}{2}\ln|1+x^{2}|+C.

Passo 5

Comentário final sobre valor absoluto: aqui 1+x^{2}>0 para todo x, então |1+x^{2}|=1+x^{2}. Podemos simplificar e escrever a resposta sem o valor absoluto. Para checar, podemos derivar a resposta e ver que
\frac{d}{dx}\left(\frac{15}{2}\ln(1+x^{2})\right)=\frac{15}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}=\frac{15x}{1+x^{2}},
que é exatamente o integrando. Tudo coerente!

Resposta

\dfrac{15}{2}\ln(1+x^{2})+C

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