Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração é
. - A expressão
aparece no denominador e sua derivada está relacionada a . - Constantes multiplicativas podem ser colocadas fora da integral.
Passo 2
Motivação do método: quando no denominador aparece uma função
e no numerador aparece algo proporcional a
, é natural tentar a substituição
. Aqui
tem derivada
, que é proporcional ao numerador
. Por isso escolhemos a substituição
.
Passo 3
Faça a substituição. Defina
Calcule
:
Isolando
obtém-se
Passo 4
Reescreva a integral em
. Substituindo na integral original:
Usando
chega-se a
Passo 5
A integral de
é o logaritmo natural. Logo,
onde
é constante de integração. Voltando para
(substituindo
):
Passo 6
Verificação rápida (derivação do resultado): aplicando a regra da cadeia a
,
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.