Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15 x^{2}}{1+x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{15 x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A expressão 1+x^{3} aparece no denominador e sua derivada está relacionada a x^{2}.
  • Constantes multiplicativas podem ser colocadas fora da integral.

Passo 2

Motivação do método: quando no denominador aparece uma função g(x) e no numerador aparece algo proporcional a g'(x), é natural tentar a substituição u=g(x). Aqui g(x)=1+x^{3} tem derivada g'(x)=3x^{2}, que é proporcional ao numerador 15x^{2}. Por isso escolhemos a substituição u=1+x^{3}.

Passo 3

Faça a substituição. Defina
u = 1 + x^{3}.
Calcule du:
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx obtém-se
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Reescreva a integral em u. Substituindo na integral original:
\int \frac{15 x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = 15 \int \frac{x^{2}\,dx}{u}.
Usando x^{2}\,dx=\dfrac{1}{3}\,du chega-se a
15 \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{15}{3}\int \frac{1}{u}\,du = 5\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

A integral de 1/u é o logaritmo natural. Logo,
5\int \frac{1}{u}\,du = 5\ln|u| + C,
onde C é constante de integração. Voltando para x (substituindo u=1+x^{3}):
5\ln|1+x^{3}| + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação do resultado): aplicando a regra da cadeia a \,5\ln|1+x^{3}|,
\frac{d}{dx}\bigl(5\ln|1+x^{3}|\bigr) = 5\cdot\frac{1}{1+x^{3}}\cdot 3x^{2} = \frac{15x^{2}}{1+x^{3}},
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

5\ln|1+x^{3}| + C

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