Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração. \int \frac{15}{\sqrt{x^{2}-1}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{15}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Informações dadas:
A função a integrar é \dfrac{15}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Considerar constantes os elementos que não forem a variável de integração (a constante 15 pode sair da integral).
Deve ser apresentada a primitiva geral (com constante de integração).
Observação importante sobre domínio: a expressão \sqrt{x^{2}-1} exige x^{2}-1\ge 0, isto é, x\le -1 ou x\ge 1.
Passo 2
Fatorar a constante fora da integral para simplificar o trabalho. Usamos a propriedade linear da integral que diz que constantes podem ser tiradas da integral:
Voltando à integral original, já sabemos uma primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}. Multiplicando por 15 (constante que tiramos antes), a primitiva da integranda é
15\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr| + C,
onde C é a constante de integração. Lembre-se do domínio: esta expressão vale como primitiva para x\le -1 ou x\ge 1; em prova é bom mencionar essa restrição se for pedido domínio da primitiva.