Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{15}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{15}{\sqrt{x^{2}-1}}.
  • Considerar constantes os elementos que não forem a variável de integração (a constante 15 pode sair da integral).
  • Deve ser apresentada a primitiva geral (com constante de integração).
  • Observação importante sobre domínio: a expressão \sqrt{x^{2}-1} exige x^{2}-1\ge 0, isto é, x\le -1 ou x\ge 1.

Passo 2

Fatorar a constante fora da integral para simplificar o trabalho. Usamos a propriedade linear da integral que diz que constantes podem ser tiradas da integral:
\int \frac{15}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = 15\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Agora resta calcular \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.

Passo 3

Apresento uma primitiva conhecida e vou comprová-la: a função
F(x)=\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr|
tem derivada \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}. Vou mostrar isso passo a passo para você ver como provar na prova.
Seja u(x)=x+\sqrt{x^{2}-1}. Então F(x)=\ln|u(x)|. Pela regra da cadeia e da derivada do logaritmo,
F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Calculamos u'(x). Temos \sqrt{x^{2}-1}=(x^{2}-1)^{1/2}, então
\frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}-1}=\frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Portanto
u'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 4

Agora substituímos u e u' em F'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}:
F'(x)=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}}{x+\sqrt{x^{2}-1}}.
Colocando em um único quociente o numerador:
1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Então
F'(x)=\frac{\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}}}{x+\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}\,\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)}.
Note que \sqrt{x^{2}-1}+x cancela com x+\sqrt{x^{2}-1}, ficando
F'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Isso confirma que
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr|=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 5

Voltando à integral original, já sabemos uma primitiva de \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}. Multiplicando por 15 (constante que tiramos antes), a primitiva da integranda é
15\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr| + C,
onde C é a constante de integração. Lembre-se do domínio: esta expressão vale como primitiva para x\le -1 ou x\ge 1; em prova é bom mencionar essa restrição se for pedido domínio da primitiva.

Resposta

15\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr|+C

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