Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações importantes:
- A expressão a integrar é
. - Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração (a constante
pode ser fatorada). - A integral só faz sentido (no conjunto dos reais) onde
está definida, isto é, para . Vamos resolver a integral simbolicamente; a validade do resultado fica restrita a essa região.
Passo 2
Estratégia: procurar uma substituição conveniente. Repare que dentro da raiz aparece
e o numerador tem
. Isso sugere usar uma substituição do tipo
porque a diferença entre
e sua derivada é apenas um fator constante multiplicando
. Vamos calcular o diferencial
.
Passo 3
Calcular
. Derivando
em relação a
obtemos
Isolando
fica
Também fatoramos a constante
para fora da integral. Substituímos então
por
e
por
.
Passo 4
Aplicar a substituição na integral:
Aqui usei que
, então
.
Passo 5
Integrar usando a regra do poder (power rule): para
com
,
No nosso caso
, então
Substituindo de volta:
Passo 6
Voltar à variável
usando
. Assim o resultado final é
com
constante de integração. Lembrete: a expressão é válida onde
está definida, isto é, para
.