Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15 x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{15 x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
Informações dadas e observações importantes:
  • A expressão a integrar é \dfrac{15x}{\sqrt{x^{2}-1}}.
  • Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração (a constante 15 pode ser fatorada).
  • A integral só faz sentido (no conjunto dos reais) onde \sqrt{x^{2}-1} está definida, isto é, para |x|\ge 1. Vamos resolver a integral simbolicamente; a validade do resultado fica restrita a essa região.

Passo 2

Estratégia: procurar uma substituição conveniente. Repare que dentro da raiz aparece x^{2}-1 e o numerador tem x\,dx. Isso sugere usar uma substituição do tipo
u = x^{2}-1,
porque a diferença entre x^{2}-1 e sua derivada é apenas um fator constante multiplicando x\,dx. Vamos calcular o diferencial du.

Passo 3

Calcular du. Derivando u=x^{2}-1 em relação a x obtemos
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx fica
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Também fatoramos a constante 15 para fora da integral. Substituímos então x\,dx por \dfrac{1}{2}\,du e \sqrt{x^{2}-1} por \sqrt{u}.

Passo 4

Aplicar a substituição na integral:
\int \frac{15 x}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = 15 \int \frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}-1}} = 15 \int \frac{\tfrac{1}{2}\,du}{\sqrt{u}} = \frac{15}{2}\int u^{-1/2}\,du.
Aqui usei que \sqrt{u}=u^{1/2}, então 1/\sqrt{u}=u^{-1/2}.

Passo 5

Integrar usando a regra do poder (power rule): para u^{\alpha} com \alpha\neq -1,
\int u^{\alpha}\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
No nosso caso \alpha=-\tfrac{1}{2}, então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2u^{1/2} + C.
Substituindo de volta:
\frac{15}{2}\int u^{-1/2}\,du = \frac{15}{2}\cdot\bigl(2u^{1/2}\bigr) + C = 15\,u^{1/2} + C.

Passo 6

Voltar à variável x usando u=x^{2}-1. Assim o resultado final é
15\sqrt{x^{2}-1}+C,
com C constante de integração. Lembrete: a expressão é válida onde \sqrt{x^{2}-1} está definida, isto é, para |x|\ge 1.

Resposta

15\sqrt{x^{2}-1}+C

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