Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular a integral indefinida
Informação importante: a variável de integração é
; qualquer símbolo que não seja
deve ser tratado como constante (aqui não temos outras variáveis). O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja o integrando), mais uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: observar a forma do integrando. Temos um fator
e um fator
. Isso sugere a substituição
porque a derivada de
aparece (até sinal) multiplicando
. Vou explicar a ideia da substituição de forma rápida: se
, então
. Assim integrais do tipo
se transformam em
, o que frequentemente simplifica a integral.
Passo 3
Calcular o diferencial da substituição:
Isolando
obtemos
Agora substituímos na integral original: onde estava
colocamos
, e onde estava
colocamos
. Assim
Passo 4
Resolver
. Usamos a regra de integração de potências: para
,
Aqui
, logo
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
:
Verificação rápida (opcional, mas didática): derivando a primitiva obtida deve retornar o integrando:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.