Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \cos ^{15} x \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular a integral indefinida
\int \cos^{15}x\,\sin x\,dx.
Informação importante: a variável de integração é x; qualquer símbolo que não seja x deve ser tratado como constante (aqui não temos outras variáveis). O objetivo é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada seja o integrando), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: observar a forma do integrando. Temos um fator \cos^{15}x e um fator \sin x\,dx. Isso sugere a substituição
u=\cos x,
porque a derivada de \cos x aparece (até sinal) multiplicando dx. Vou explicar a ideia da substituição de forma rápida: se u=g(x), então du=g'(x)\,dx. Assim integrais do tipo \int f(g(x))g'(x)\,dx se transformam em \int f(u)\,du, o que frequentemente simplifica a integral.

Passo 3

Calcular o diferencial da substituição:
u=\cos x \quad\Rightarrow\quad du = -\sin x\,dx.
Isolando \sin x\,dx obtemos
\sin x\,dx = -\,du.
Agora substituímos na integral original: onde estava \cos^{15}x colocamos u^{15}, e onde estava \sin x\,dx colocamos -du. Assim
\int \cos^{15}x\,\sin x\,dx = \int u^{15}\,(-du) = -\int u^{15}\,du.

Passo 4

Resolver -\int u^{15}\,du. Usamos a regra de integração de potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=15, logo
-\int u^{15}\,du = -\frac{u^{16}}{16}+C.

Passo 5

Voltar à variável x substituindo u=\cos x:
-\frac{u^{16}}{16}+C = -\frac{\cos^{16}x}{16}+C.
Verificação rápida (opcional, mas didática): derivando a primitiva obtida deve retornar o integrando:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{\cos^{16}x}{16}\right) = -\frac{1}{16}\cdot 16\cos^{15}x\cdot(-\sin x) = \cos^{15}x\,\sin x,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{\cos^{16}x}{16}+C

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