Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(d) integral sen x raiz1+cos x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin x raiz1+cos x,dx. Vamos usar técnicas de integração por substituição, já que vemos uma função composta raiz1+cos x cujo derivado está quase todo presente no integrando.

Passo 2

Observamos que se definirmos a substituição
$$
u = 1 + \cos x, u = 1 + cos x,ã
du = -\sin x,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x,dx = -du.
$$

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral sin x raiz1+cos x,dx = integral raiznu;(-du) = -integral nu^1/2,du
Agora basta integrar a potência de nu.

Passo 4

Integramos:
-integral nu^1/2,du = -nu^3/23/2 + C = -23,nu^3/2 + C
Voltando à variável x usando nu = 1+cos x, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

-\frac{2}{3}(1+\cos x)^{3/2}+C

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