Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. Vamos usar técnicas de integração por substituição, já que vemos uma função composta
cujo derivado está quase todo presente no integrando.
Passo 2
Observamos que se definirmos a substituição
$$
u = 1 + \cos x,
du = -\sin x,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x,dx = -du.
$$
Passo 3
Substituindo na integral original, temos
Agora basta integrar a potência de
.
Passo 4
Integramos:
Voltando à variável
usando
, obtemos a primitiva desejada.
Resposta
-\frac{2}{3}(1+\cos x)^{3/2}+C