Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(j) integral a+b x^23 a x+b x^3 d x.

Passo 1

Vamos calcular integral a + b x^23 a x + b x^3 ,dx. O conteúdo principal é integração de fração racional, que resolvemos por decomposição em frações parciais e uma substituição simples.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: 3 a x + b x^3 = x,(3a + b x^2). Assim o integrando fica
a + b x^23 a x + b x^3 = a + b x^2x,(3a + b x^2)

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais:
Suponha
a + b x^2x(3a + b x^2) = Ax + B x3a + b x^2
Multiplicando os dois lados por x(3a + b x^2) obtemos
A(3a + b x^2) + B x^2 = a + b x^2
Comparando coeficientes:
  • termo constante: 3a A = a implica A = tfrac13.
  • coeficiente de x^2: A b + B = b implica B = b - tfrac b3 = tfrac2b3

Passo 4

Substituindo de volta, o integral separa-se em duas partes:
integral a + b x^2x(3a + b x^2) ,dx = 13 integral dxx + 2b3 integral x3a + b x^2 ,dx
A primeira parte é trivial: integral x^-1dx = ln|x|
Na segunda parte, fazemos u = 3a + b x^2, logo du = 2b x,dx, ou seja x,dx = du/(2b). Portanto
integral x3a + b x^2 ,dx = integral 1u cdot du2b = 12b ln|u| + C = 12b ln|3a + b x^2| + C

Passo 5

Multiplicando pelo fator 2b/3 e somando com a primeira parte:
13 ln|x| + 2b3 cdot 12b ln|3a + b x^2| + C = 13ln|x| + 13ln|3a + b x^2| + C
Podemos juntar os logaritmos:
boxed13lnl|x(3a + b x^2)r| + C

Resposta

13lnl|x(3a + b x^2)r| + C

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