Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(j)
.
(j)
Passo 1
Vamos calcular
. O conteúdo principal é integração de fração racional, que resolvemos por decomposição em frações parciais e uma substituição simples.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador:
. Assim o integrando fica
Passo 3
Agora fazemos a decomposição em frações parciais:
Suponha
Suponha
Multiplicando os dois lados por
obtemos
Comparando coeficientes:
- termo constante:
implica . - coeficiente de
: implica
Passo 4
Substituindo de volta, o integral separa-se em duas partes:
A primeira parte é trivial:
Na segunda parte, fazemos , logo
, ou seja
. Portanto
Na segunda parte, fazemos
Passo 5
Multiplicando pelo fator
e somando com a primeira parte:
Podemos juntar os logaritmos: