Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(g) integral raiz[3]1+7 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integralraiz[3]1+7x,dx, que envolve uma função do tipo potência aplicada a uma expressão linear. Vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 1 + 7x. Assim, derivando ambos os lados, temos du = 7,dx, ou seja, dx = du7.

Passo 3

Substituindo na integral original, reescrevemos raiz[3]1+7x = u^1/3 e dx = tfracdu7. Ficamos com
integralraiz[3]1+7x,dx = integral u^1/3cdotdu7 = 17integral u^1/3,du

Passo 4

Agora basta integrar u^1/3. Usando a regra de potência,
integral u^1/3,du = u^4/34/3 = 34u^4/3

Passo 5

Logo, a integral fica
17cdot34u^4/3 + C = 328u^4/3 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável x usando u = 1 + 7x. Portanto, o resultado final é 328(1+7x)^4/3 + C.

Resposta

integralraiz[3]1+7x,dx = 328(1+7x)^4/3 + C.

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