Utilize as relações trigonométricas
(i) sen^2 x=1-cos ^2 x,
(ii) sec ^2 x=1+tg^2 x,
(iii) cos ^2 x=1+cos (2 x)2 e
(iv) sen^2 x=1-cos (2 x)2
para calcular as integrais abaixo.
(a) integral sen^3 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sin^3 x,dx usando relações trigonométricas, especialmente sin^2 x = 1 - cos^2 x. Vamos usar essa identidade e depois uma substituição para facilitar a integral.

Passo 2

Reescreva sin^3 x como sin x,sin^2 x e use sin^2 x = 1 - cos^2 x, obtendo
sin^3 x = sin x,(1 - cos^2 x)

Passo 3

Faça a substituição u = cos x, então du = -sin x,dx, ou seja, sin x,dx = -du. Assim, a integral se transforma em
integral sin^3 x,dx = integral sin x,(1 - cos^2 x),dx = -integral (1 - u^2),du

Passo 4

Calcule a integral em u:
-integral (1 - u^2),du = -l(u - tfracu^33r) + C = -u + tfracu^33 + C

Passo 5

Volte para x usando u = cos x, concluindo que
integral sin^3 x,dx = -cos x + cos^3 x3 + C

Resposta

-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C

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